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教甄◆數學
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115年 - 115-2 台北市立建國高級中學_正式教師甄選試題：數學科#138704
> 申論題
(2)設a₁=100，則數列⟨a_n⟩是否收斂？請證明之。（10分）
相關申論題
1.若t為實數且滿足方程式√(t⁴-4t³+13t²-6t+1) + √(t³+2t³+2t²+2t+1) = 5t，則t的值為___。
#568471
2.空間中有一個六角錐O-ABCDEF，底面為邊長2√2的正六邊形ABCDEF，線段OA垂直底面且OA=√7+1，令平面OBF和平面OCE的二面角為θ，則sinθ的值為___。（答案請簡化為√a/b的型式，其中a,b為正整數）
#568472
3.實係數多項式f(x)=4x²+bx+c，且滿足f(f(1))=f(f(2))=f(f(3))=d，則數組(b,c,d)=___。
#568473
4.在坐標平面上，橢圓Γ的方程式為(x-6)²/9+(y-4)²/4=1。設直線L_{m,P}是斜率為m且通過P點的直線，其中m＜0，點P為橢圓Γ上的點，設直線L_{m,P}與x軸、y軸所圍成的封閉三角形面積為A_{m,P}，考慮所有m＜0及所有橢圓Γ上的點P，則A_{m,P}的最小值為___。
#568474
5.如右圖，扇形AOB的圓心角∠AOB=θ，OA=1，圓O₁與OA、OB、弧AB均相切，圓O_{n+1}與圓O_n外切，並與OA、OB均相切，且令圓O_n的面積為a_n（∀n∈ℕ），則極限lim_{θ→0} (Σ_{k=1}^{∞} a_k)/θ 的值為___。
#568475
6.形如q/p（其中12≤p≤99）的最簡分數中，最接近3/11的最簡分數為___。
#568476
7.如右圖（示意圖，不代表精準圖形），平面上有一圓內接四邊形ABCD，滿足AB:AC:AD=5:10:11，∠ACD=3∠ACB，∠ACB＜45°，BC＜BD=48，則線段BC的長度為___。
#568477
8.在5×5的方格棋盤共25個格子中，要求每一行和每一列都恰有3個格子被塗黑，則有___種不同的塗法。
#568478
9.在坐標平面上，以原點O為圓心的單位圓上有相異三點A,B,C並依此順序逆時針排列，∠AOB=α，∠BOC=β，α,β皆為正實數。若α+β=2π/3且平面上恰一點P滿足PA⃗·PB⃗+PA⃗·PC⃗=OA⃗·OC⃗，則cosα的值為___。
#568479
10.若k為整數且-5≤k≤5，將滿足|x+2y-5|+|3x+4y-k|≤10的所有(x,y)畫在坐標平面上會形成一個封閉區域，設此封閉區域的面積為A，且(A-1)是10的倍數，則所有滿足題意的整數k為___。
#568480
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