115年 - 115-1 臺北市立中正高級中學_專任教師甄選初試試題：數學科#138690

1. 等差數列〈a_n〉滿足 a₇ =1 且公差 d> 0 ，若 ，則公差 d = _______。

2. 函數 f(x)=( −1≤x≤1 )的最大值為_________ 。

3. 集合 S = {1,2,... ,8}，令 T={ (A， B)| A ⊆ S， B ⊆ S且A≠∅，B≠∅，A∩B= ∅}，求 n(T ) =________ 。

4. 已知三次函數f (x)=4x³-6x²+3x+1，求= _______。

5. 計算 log4[( 1+tan1° )✖(1+tan2°)✖...✖( 1+tan44° )✖(1+tan45° )]=__________ 。

6. 已知△ABC 三邊長成等差數列，設公差 d> 0 。若 △ABC 外接圓半徑R = 、內切圓半徑 r = ， 試求公差 d = __________。

7. 如右圖，正八面體 ABCDEF 的邊長為 2 。已知 A 為原點， A D E , , 為 xy 平面上的點， B 為 yz 平面上的點，則 B 到 y 軸的距離_________ 。

8. 計算無窮級數和：=__________。

9. 設多項式函數 F(x)=(x⁴-5x³+8x²-4x+1 )⁴ (x⁵-6x⁴+13x³-12x²+5x-2 )³(x²-2x+2)⁷ ， 求其四階導數F⁽⁴⁾ (1)=_________ 。

10. 設方程式 f(x)=x³-x²+3x+31=0 的三個根為 α、 β 、γ ，則 ( a³+27)(β³+27 )(γ³+27 ) =__________。

11. △ABC 中，已知 A(2,−4 ) ，若∠ B、∠ C 之角平分線方程式分別為L1: x+y-2=0及L2:x-3y-6=0， 求 BC 直線之方程式為_______ 。

12. 某老師欲安排接下來 4 月 10 日至 19 日(共 10 天)安排訓練規劃，其中有 5 天安排「高強度訓練日」，另外有 5 天安排 「修復日」。為了評估此安排的訓練品質，定義：如果某個「高強度訓練日」的前一天與後一天剛好都是「修復日」，則該日稱為「黃金孤立訓練日」(因為此時運動員能量最飽滿)。

如果隨機在這 10 天中安排 5 天「高強度訓練日」(假設 4 月 9 日與 20 日均為修復日)，試求這 10 天中「黃金孤立訓練日」 出現次數的期望值為______次。

二、計算題(除第 3 題 12 分外，其餘每題 8 分)
 1. 設 n 為正整數，試證明： 1+。

2. 設 A(1,2, −3 )、 B(5, −4,1 ) ， P 為平面 E :x-2y+3z-4=0 上任一點，試求 最小值。

 (1) 求出圖形Γ'的方程式。(4 分)

(2) 列出圖形Γ'上所有的格子點。(8 分)