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題組內容

1.(20%) Prove the following:

(a) If a sequence in Rⁿ is convergent, then it is Cauchy.

其他申論題

(2)試證明 s 2 = 為母體變異數的不偏估計式。

(1)計算 X 的期望值與變異數。

(2)計算 2( 2X+3X2 ) 。

2. [5 分]根據一份研究夫妻收看電視習慣的報告，丈夫按時收看某電視節目的機率是 0.5，妻子的機率是 0.4。該報告亦發現在妻子按時收看該電視節目下，丈夫亦按時收看的機率為 0.7。試求夫妻兩人至少有一人按時收看該電視節目的機率。

(b) The function f ( x ) = cos x + x is uniformly continuous on  .

2.(20%) Suppose that f is three times differentiable on an interval containing a . Show that Can you find the generalization to higher derivatives?

(a) Prove that f is not continuous at (0, 0) .

(b) Find ∂ x f , ∂ y f and determine whether ∂ x f (0,0) and ∂ y f (0,0) exist or not.

4.(15%) Suppose that f is a homogeneous function of degree a on R n .That is, . Show that ( f is twice differentiable)

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