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研究所、轉學考(插大)◆線性代數
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110年 - 110 國立清華大學碩士班考試入學試題_數學系:線性代數#104957
> 申論題
題組內容
5. Let T: V → V be a linear operator on a finite-dimensional F-vector space V.
(a) State the definition of eigenvectors of T.
相關申論題
1. Let V and W be F-vector spaces, and let T: V→ W be a linear transformation. Prove that dim R(T)+dim N(T) = dim V if V is fnite-dimensional.
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2. pointsFind a matrix A such thatYou need to show that the matrix you find has the required properties.
#445118
3. Let A . Show that the system of linear equations Ax = b has a solution for all b if and only if the system of linear equations has no nonzero solutions.
#445119
4. Let A and B . Show that if rank(AB) = m, then rank(BA) =m.
#445120
(b) Give an explicit example of T that has no eigenvectors.
#445122
(c) Prove that T has an eigenvector if F = C.
#445123
(c) Prove that T has an eigenvector if F = C.
#445124
6. Let A . Show that if Q is an invertible matrix such that AQ is diagonal, then each column vector of Q is an eigenvector of .
#445125
7. (12 points) Let T: be a linear operator. Show that if T preserves the Euclidqdean distance between any two points, that is, ||T(u) - T(ข)||= ||u- ull for any u, u , then the matrix representation of T relative to the standard basis is an orthogonal matrix.
#445126
8. Let A be a real symmetric matrix. Show that there exists al real symmetric matrix B such that B3 = A.
#445127
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