申論題

三、如圖，有一圓柱形長直水管所構成的灑水器，圓管的總長度為 2R、內徑 為 D，其固體部分單位長度（與 R 長度同向）之質量為σ。運轉時，外部馬達供給灑水器一力矩使其以角速度Ω₀穩定旋轉，同時，水流（水的密度為ρ）以固定的質量流率由灑水器下方進入管路，並從上方圓柱長直水管兩端的開口徑向（相對於灑水器）噴灑而出。若在時間點 t = 0 時，馬達因斷電而不再提供以角速度Ω₀ 穩定旋轉的灑水器力矩，然而因 水源並未關閉，水流仍不斷地以固定的質量流率進入及離開灑水器。 在此情況下，請計算灑水器旋轉之角速度ω(t) 於馬達斷電後將如何隨著時間而變化。外部空氣阻力與軸承等硬體零件摩擦可不計。 （25 分）