申論題

K-means演算法是一種廣泛使用的聚類分析（Cluster Analysis）方法，旨在將n個樣本劃分為K個聚類，每個樣本屬於與其最近的均值（聚類中心）對應的聚類。下面是K-means演算法的基本步驟：

初始化：隨機選擇K個樣本作為初始聚類中心。
分配步驟：對於資料集中的每一個樣本，計算其與每個聚類中心的距離，並將其分配給最近的聚類中心所對應的聚類。
更新步驟：更新每個聚類的中心，使其成為該聚類所有樣本的均值。
反覆運算：重複步驟2和步驟3，直到聚類不再發生變化或達到預定的反覆運算次數。
下面是使用Python實現的K-means演算法的簡化版本：

python
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import numpy as np

def k_means(D, K, max_iters=100):
    n = len(D)  # 資料集中的樣本數量
    # 隨機初始化聚類中心
    indices = np.random.choice(n, K, replace=False)
    centroids = D[indices]
    
    for _ in range(max_iters):
        # 分配步驟
        clusters = [[] for _ in range(K)]
        for xi in D:
            # 計算樣本與每個聚類中心的距離
            distances = np.linalg.norm(xi - centroids, axis=1)
            # 分配到最近的聚類
            cluster_index = np.argmin(distances)
            clusters[cluster_index].append(xi)
        
        # 更新步驟
        new_centroids = np.array([np.mean(cluster, axis=0) for cluster in clusters])
        
        # 檢查是否收斂（聚類中心是否不再變化）
        if np.all(centroids == new_centroids):
            break
        centroids = new_centroids
    
    return clusters, centroids

# 假設D是一個numpy陣列，其中包含n個樣本
# D = np.array([...])
# K = 目標聚類數量
# clusters, centroids = k_means(D, K)
在這個實現中，D是一個形狀為(n, m)的numpy陣列，其中n是樣本數量，m是每個樣本的特徵數量。K是目標聚類的數量。函數返回最終的聚類和聚類中心。

需要注意的是，K-means演算法對初始聚類中心的選擇非常敏感，可能會導致局部最優解。因此，在實踐中，可能需要多次運行演算法，或使用更高級的初始化方法，如K-means++。此外，K-means演算法假設聚類是球形的，並且所有的特徵維度都是同等重要的，這在某些情況下可能不是最佳的假設。