所屬科目：教甄◆數學
1.(1) 從一個 \( 9\times9\times9 \) 正立方體開始。小歐從中移除儘可能少的 \( 1\times1\times1 \) 正立方體，使得最後的造型之前視圖、側視圖與俯視圖都與右圖所示相同。請問小歐總共移除__________個 \( 1\times1\times1 \) 的正立方體。
(2) 承(1)，小歐所得到的造型之表面積為__________平方單位。
(1) 則週期的最大可能值為__________
2.(2) 承(1)，求有 \( f(x) \) 有最大週期時，\( c \) 的最小值__________
(1) 所有可能的數對 \( (x,y) \) 有__________種
(2) 12個自然數在圓周上的相對關係能滿足題意的方法數為 \( (6!)^2 \cdot X \)，求 \( X \) = __________
1. 試比較 \( 5^{-\sqrt{2}}\times 7^{-\sqrt{3}} \)、\( 5^{-\sqrt{3}}\times 7^{-\sqrt{2}} \) 兩數的大小。
2. 設 \( f(x)=ax^4+bi\cdot x^3+cx^2+di\cdot x+e \)，其中 \( m \)、\( n \)、\( a \)、\( b \)、\( c \)、\( d \)、\( e \) 皆為實數。若 \( m+ni \) 為方程式 \( f(x)=0 \) 的一根，試說明：\( m-ni \)、\( -m+ni \)、\( -m-ni \) 三數中，何者亦必為方程式 \( f(x)=0 \) 的根？
3. (1) 將質數由小到大排列，第50個質數為229，試估計 \( \log 229 \) 的值。（估計值在 \( [\log 229-10^{-k},\log 229+10^{-k}] \) 內得 \( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \) 分）
(2) 請說明你的估計結果跟實際值 \( \log 229 \) 相比，會是低估或是高估？為什麼？
4. (1) 設 \( a \)、\( b \) 為正實數，且 \( a＞b \)，\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3 \)，求 \( \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \)？
(2) 設 \( a \)、\( b \) 為正實數，且 \( a＞b \)，\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=k \)，求 \( \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \)？（以 \( k \) 表示）
(1) 已知 且 ，且BE與CD交於P點，若 \( \overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC} \)，求 \( (\alpha,\beta) \)？
(2) 已知 且 ，且交於P點，若 \( \overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC} \)，求 \( (\alpha,\beta) \)？（以 \( a \)、\( b \)、\( c \)、\( d \) 表示）
6. (1) 試利用數學歸納法證明：對每個大於1的整數 \( n \)，恆有\[ \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdots\sqrt{n}}}} ＜ \frac{3}{\sqrt[2^{n-1}]{n+2}} \]請注意：上式右端的分母是 \( n+2 \) 的正 \( 2^{n-1} \) 次方根。
(2) 試證：對每個大於1的整數 \( n \)，恆有 \( \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdots\sqrt{n}}}} ＜ 3 \)。
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且 
，且BE與CD交於P點，
且 
，且
交於P點，