113年 - 113 專技高考_電子工程技師：電磁學與電磁波#123977

(一)請寫出傳輸線上電壓 V(z)與電流 I(z)的數學表達式，以及負載端（z = L）的電壓與電流數學表達式。（6 分）

(二)若負載阻抗 Z_L = ∞（即開路），求負載端的電壓波反射係數和輸入端（z = 0）的輸入阻抗 Z_in。（6 分）

(三)證明在(二)情況下，輸入阻抗 Z_in 與傳輸線長度 L 之間滿足Zin =- jZ₀ cot(βL ) 的關係式。（6 分）

(四)解釋(三)中關係式的物理意義。（7 分）

(一)請利用馬克斯威爾方程組（如以下提示）推導電磁波電場在自由空間中的波動方程式。（10 分）

(二)在一維平面波的假設，亦即 E_x( z, t ) ，請化簡(一)中的波動方程式。（5 分）

(三)驗證函數 E_x ( pt-qz ) 是(二)中波動方程式的解，只要兩個參數的比值滿足某一特定關係式（亦即波速），並求出波速的數學表示式。（10 分）
〔提示〕：
･馬克斯威爾方程組：

･向量恆等式：

(一)一段長度 L 且載有穩定電流 I 的導線，假設該導線置於均勻磁場中，已知導線上微量長度 dl 所受的微量磁力可表示如下：

請推導出導線所受的總磁力數學式。（3 分）

(二)如圖一所示，一個邊長為 L 的正方形電流迴路（電流為 I）置於均勻磁場中。請計算左、右兩段導線（）所受的磁力，並證明其大小相等且方向相反。（8 分）

(三)繼續子題(二)，請計算上、下兩段導線（）所受的磁力，再計算這四段導線所受磁力的合力與合力矩。（14 分）
〔提示〕：力矩的公式

四、考慮純量場 G=∇• (Φ ) ，其中Φ是任意可微分之純量場，且∇²Φ=0（稱Φ為調和函數）；又是靜電場，滿足 ∇✖=0 。假設某一區域 V 是邊長為 a 的立方體，該立方體的邊界外表面為 S，且假設邊界S上電位φ為零，請計算純量場 G 在區域 V 的體積分值Gdv。（25 分）
〔說明〕：必須利用以下散度定理和電磁學基本定律等進行推導與計算，否則不予計分。
･散度定理：
･電場與電位的關係： = -∇φ
･靜電場滿足高斯定律： ∇ • = =0 （設區域 V 內無電荷）
･向量恆等式：