90年 - 90 中原大學轉學生招生考試_理、工學院二年級 先修生轉正式生)：微積分#124671

1. (10%) 考慮

以「o」表示「是」、「×」表示「否」,填入下表:

(a) 令f(x) = x⁵ + 2x³ + 2x, 且 f^-1(x) 代表 f(x) 之反函數, 求 (f^-1)'(-5)。

(b) 已知2y² = 28 - x² + xy, 求在 (x,y) = (-2,-4) 之值。

(c) 求積分dx。

(d) 求積分∫x cos x dx.

(a) 畫出函數f(x)之圖形。

(b) 求 F(x)之臨界點 (critical point), 及說明在每一臨界點上函數 F(x)是否有局部極大值、局部極小值、反曲點 (local maximum、local minimum、inflection point)。

(c) 求出F(x) 在x=2時的切線。

(d) 求出以y = f(x)在x∈ [0,1] 之圖形與 x 軸及直線x=1夾區域, 繞著y- 軸旋轉所得之旋轉體體積。

4. (10%) 求極限.

5. (10%) 試將ln(2 + x) 展成x的冪級數。此展式對哪些x成立?

6. (10%) 試求曲面 x³ + y³ = 3xyz 在點(1, 2,) 的切面方程式。

7. (10%) 設 Ω 為 xy 平面上以原點為中心，1 為半徑的圓盤，求函數 f(x, y) = e^1-x²-y²在 Ω 上的二重積分。

8. (10%) 設 T 為球面 x² + y² + z² = 4 和錐面 z² = x² + y² 所圍成的球頂錐體，試求其體積。