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奧林匹亞數學
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106年 - 2017 年亞太數學奧林匹亞競賽-初選考試#81668
> 申論題
一、 (7分) 已知 E 是矩形 ABCD 邊 AD 的中點, BE⊥AC 於點 F, AF = 2. 則
相關申論題
二、 (7分) 已知 a, b, c, d 是不全為 0 的實數且 k1, k2, k3, k4 為正整數。 滿足 b + c + d = k1a, c + d + a = k2b d + a + b = k3c, a + b + c = k4d. 令 k1 + k2 + k3 + k4 之可能值為 pi , i = 1, · · · , 12. 試問:
#332628
三、 (7分) 設 an 是集合 {1, 2, · · · , n} (n ≥ 3) 中具有如下性質的子集的個數: 每個子集至少含有 2 個元素, 且每個子集中任意 2 個元素之差 (絕對值) 大於 1. 試問: a10 =____________
#332629
四、 (7分) 已知 f(x) 是定義在實數上的函數。 若 f(0) = 0, 且對任意實數 x, 滿足 f(x + 4) − f(x) ≤ x 2 , f(x + 16) − f(x) ≥ 4x 2 + 48x + 224, 試問: f(64) = _____________.
#332630
五、 設 n (n ≥ 11) 是正整數。 由不大於 n 的連續 10 個正整數的和組成集合 A, 由不大 於 n 的連續 11 個正整數的和組成集合 B. 若 A ∩ B 的元素個數是 181. 試問: (i) (3分) n 的最小值為 __________, (ii) (4分) n 的最大值為_________.
#332631
六、 (7分) 設三個不同的質數 a, b, c 滿足:a|(3b − c), b|(a − c), c|(2a − 7b), 20 < c < 80. 試問: a b c = ___________
#332632
七、 (7分) 在平行四邊形 ABCD 中, AB = 8, ∆ABD 的外接圓半徑為 5. 試問: 對角線 AC 的最大值。 答
#332633
(b) (4分) 試問 b543 =_____________ . (註: [x] 表示不超過 x 的最大整數。)
#333740
(a) (3分) 若 bk = 4096, 則 k = ____________ .
#333739
四、 (7分) 整數對 (x, y) 滿足等式 x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y. 請解出所可能的整數對 (x, y); 一共會有 n 對。 再考慮每一對的絕對值和 |x| + |y|, 令 m 為這數的極大值。 則 m + n = ____________ .
#333738
三、 (7分) 整數的數列 (a1, a2, . . .) 滿足下列關係式: , 對所有 n ≥ 3. 如果已知 a560 = 560 且 a1600 = 1600, 則 a2013 是 8 位數字; 而且 a2013 的個位數 字是 9 , 十位數字是 10 . (註: lcm(a, b) 與 gcd(a, b) 分別是 a, b 兩數字的最小公倍數與最大公因數。)
#333737
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