8. 設 a 為整數，滿足 \( \left[\dfrac{1}{2}a\right] + \left[\dfrac{2}{3}a\right] = a \)，試求 a 的最大值為__________。（[ ]為高斯符號，亦即：[x] 表示不大於 x 的最大整數。）

10. 空間中三向量 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)，\( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，\( \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) \)，若 \[ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 & \alpha & 24 \\ \alpha & 9 & \beta \\ 24 & \beta & 36 \end{bmatrix} \]，且 \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 48\sqrt{3} \)，則 \( \alpha + \beta \) 的最大值為__________。

8. 設 a 為整數，滿足 \( \left[\dfrac{1}{2}a\right] + \left[\dfrac{2}{3}a\right] = a \)，試求 a 的最大值為__________。（[ ]為高斯符號，亦即：[x] 表示不大於 x 的最大整數。）

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