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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 103年 - 103 國家安全情報特種考試_三等_電子組：工程數學#34963
103年 - 103 國家安全情報特種考試_三等_電子組：工程數學#34963
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
103年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
7
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1假設 z(x, y) = 3000 − x
2
− 9y
2
是一座山距離海平面的高度，試問在點 P(4, 1)的位置，往那一個方向具有最 陡峭的高度變化？ (A) [-1.-2.25] (B)[ −1,2.25] (C)[ − 8,18] (D)[ 8,18]
2 若 F, G, H 為向量，α 為純量，有關外積（Cross Product）的性質，何者錯誤？ (A) F× G = G × F (B) F × G 與 G, F 均正交（Orthogonal） (C) F × (G + H) = F × G + F × H (D)α (G × H) = (α G) × H
3 F = [ − y,−xy ] ，C 為下圖所示從 A 至 B 的圓弧，其線
，則下列何者屬實？ (A) α + b =1 (B)α + b = 7 (C)α + b = −1 (D) α + b = −7
4 若
, 計算
各為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
5 對於矩陣特徵問題 AX = λX，得到特徵值 λ為實數的充分條件為何？ (A) A 是對稱（symmetric）矩陣 (B) A 是正交（orthogonal）矩陣 (C) A 是 Hermitian 矩陣 (D) A 是 Skew-Hermitian 矩陣
6 令
，求跡數（trace）tr (AB) =？ (A)290(B)284 (C) 280 (D) 286
7 下列何者
R 為線性轉換函式？ (A)T(x, y) = (x + y, 3y) (B)T(x, y) = (2x −1, 3y +1) (C) T =(x
2
,3y+2) (D)T(x, y) = (2, 3)
8 設矩陣
A，則 A
3
-8A
2
+15A 為何？ (A) 0 (B) A (C) 3A (D) 5A
9 下列選項何者為
的一解？（註：
） (A) z =1+ i (1/3)π (B) z =1+ i (1/ 6)π (C) z = ln(2) + i (4/3)π (D) z = ln(2) + i(7 /3)π
10 令
為一複數冪級數（complex power series），且已知其在 z = 3+ 4i 時為收斂，則下列敘述何者為 正確？（註：
） (A)對所有實部小於 3 的複數 z，此複數冪級數為收斂 (B)對所有虛部小於 4 的複數 z，此複數冪級數為收斂 (C)對所有 z < 5 的複數 z，此複數冪級數為收斂 (D)對所有 z ≤ 5 的複數 z，此複數冪級數為收斂
11 求
對中心點 x0 = −2 的泰勒展開級數（Taylor expansion series）的收斂半徑？ (A) 0 (B) 1 (C)
(D)∞
12 x
2
y′ + y
2
= xy，則 y =？ (A)
(B)
(C)
(D)
13 求解 3
， y(0) =1 (A)
(B)
(C)
(D)
14 若函數
為 f (t)之傅立葉轉換，下列何者正確？ (A)
(B)
(C)
(D)
15 定義
，極座標轉換 x = r cosθ , y = rsinθ ，則下列何者正確？ (A)
(B)
(C)
(D)
16 下列何者不可能是 x
2
y′′ + Axy′ + By = 0的解？其中 A 和 B 為常數。 (A)x
2
cos(3ln(x ))(B)x
2
ln(2x) (C)e
2
+ x (D) e
2x
17 下列何者之拉普拉斯轉換（Laplace transform）不存在？ (A) e
3t
(B)
(C) e
88
(D)cost
18 假設 X 為連續型隨機變數，具有機率密度函數（probability density function）
， 試求Y = 8X
3
在0 < y < 8 之機率密度函數 f ( y) Y 為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
19 有 200 位成人中其性別和教育程度的情形如下：
假設從這200 位成人中隨機挑選 1 人，已知此人是女性，請問此人沒有大學教育程度的機率為何？ (A) 17/200 (B) 17/112 (C) 95/112 (D) 95/200
20 假設兩個隨機變數 X 和 Y 的結合機率密度函數（ joint probability density function ） 為
，試問 P(X ≥ 0.5) =？ (A) 5/16 (B) 3/5 (C) 2/3 (D) 1/8
申論題 (7)
(1) Q 為那一種圓錐曲線？（2 分）
(2)求 Q 的正交主軸轉換矩陣（Orthogonal Principal Axes Transformation Matrix）。 （8 分）
【已刪除】二、求解
，其中
。（15 分）
三、求1+
i
的四次方根。（10 分）
(1) c =？（5 分）
(2)X 之邊際機率密度函數（Marginal probability density function）fX (x) =？（5 分）
(3)Y 之邊際機率密度函數（Marginal probability density function）f
Y
( y) =？（5 分）
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，則下列何者屬實？
(A) α + b =1 (B)α + b = 7
(C)α + b = −1 (D) α + b = −7
, 計算 
各為何？
(A)
(B) 
(C) 
(D)
，求跡數（trace）tr (AB) =？ (A)290(B)284
(C) 280 (D) 286
R 為線性轉換函式？
(A)T(x, y) = (x + y, 3y) (B)T(x, y) = (2x −1, 3y +1)
(C) T =(x2,3y+2) (D)T(x, y) = (2, 3) 
A，則 A3-8A2+15A 為何？
(A) 0 (B) A (C) 3A (D) 5A
的一解？（註：
）
(A) z =1+ i (1/3)π (B) z =1+ i (1/ 6)π
(C) z = ln(2) + i (4/3)π (D) z = ln(2) + i(7 /3)π
為一複數冪級數（complex power series），且已知其在 z = 3+ 4i 時為收斂，則下列敘述何者為
正確？（註：
）
(A)對所有實部小於 3 的複數 z，此複數冪級數為收斂
(B)對所有虛部小於 4 的複數 z，此複數冪級數為收斂
(C)對所有 z < 5 的複數 z，此複數冪級數為收斂
(D)對所有 z ≤ 5 的複數 z，此複數冪級數為收斂
對中心點 x0 = −2 的泰勒展開級數（Taylor expansion series）的收斂半徑？
(A) 0 (B) 1 (C) 
(D)∞
(B)
(C) 
(D)
， y(0) =1
(A) 
(B)
(C)
(D) 
為 f (t)之傅立葉轉換，下列何者正確？
(A) 
(B)
(C) 
(D) 
，極座標轉換 x = r cosθ , y = rsinθ ，則下列何者正確？
(A) 
(B)
(C) 
(D)
(C) e88 (D)cost
，
試求Y = 8X3 在0 < y < 8 之機率密度函數 f ( y) Y 為何？
(A) 
(B) 
(C)
(D) 
假設從這200 位成人中隨機挑選 1 人，已知此人是女性，請問此人沒有大學教育程度的機率為何？
(A) 17/200 (B) 17/112
(C) 95/112 (D) 95/200
，試問 P(X ≥ 0.5) =？
(A) 5/16 (B) 3/5 (C) 2/3 (D) 1/8
，其中 
。（15 分）