112年 - 112 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#118376

1 考慮函數 Φ ( x, y, z ) = 2 x² y - yz² ，請決定梯度 ∇Φ ( x, y, z ) 在點 (1, - 1, 2) 之值為何？ (A) -4i + 2 j + 8k (B) -4i - 2 j + 8k (C) -4i - 2 j - 8k (D) -4i + 2 j - 8k

2 若•為內積運算，✖為外積運算，請計算 (2i - j)•[(i + 3j - k) ✖ (3i - k)] 之值為何？ (A)-4 (B) -5 (C)-6 (D)-7

3 圍線積分 其中 c 為由直線 y = x 與拋物線 y = x²所圍成的封閉路徑，利用格林 定理（Green’s theorem）將此積分化成面積分，其中 R 為封閉路徑 c 所圍的區 R 域，請問 u ( x, y ) 與 K 分別為何？ (A) u ( x, y ) = y - 2 x ， K = (B) u ( x, y ) = 2 x - y ， K = (C) u ( x, y ) = 2 x - y ， K = (D) u ( x, y ) = y - 2 x ， K = 

4 下列那一個向量不在矩陣 之列空間（row space）？  (A) (B) (C) (D)

5 矩陣 經由對角化得 ，下列何者是 P 矩陣？ (A) (B) (C) (D)

6 假設矩陣 ，計算行列式值 det(3 A^T ) + det( A^-1 ) = ， c = ?  (A) 18 (B) 28 (C) 244 (D) 234

7 假設 A 為 n✖n 矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？ (A) A 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable） (B) A 為對稱（symmetric）矩陣 (C)可為 A 找到或建構 n 個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors） (D) A 的行列式值 det A =±1

8 下列子集合何者為 R³ 的子空間（subspace）？ (A) {( a, b, a + 2b) | a, b R}(B) {(0, a, a ² ) | a   R}   (C) {( a + 1, a, 0) | aR} (D){( a, b,1) | a, b R}

9 定義 i =，複變數 z = x + iy 與其共軛複數= x - iy 。下列何者在整個複數平面皆為可解析 （analytic）？ (A) f ( z) =(B) f ( z ) = e^y (cos x + i sin x) (C) f ( z ) = x² + y² + 2ixy (D) f ( z ) = e^x (cos y + i sin y)

10 定義 i =，假設方程式 z² - z + 1 + i = 0 的兩個解為 z₁ 與 z₂ 且 |z₁|> |z₂| ，則下列何者正確？ (A) z₁ + z₂ = 1 + 2i (B) z₁ - z₂ = 1 - 2i (C) | z₁| = 1 (D) | z₂|  =

11，且 c 為|z| = 3 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定 之值為何？(A) 4π i (B) - 4π i (C) 6π i (D) - 6π i 

12 請利用複數積分決定 之值為何？(A) (B) (C) (D)

14 給定微分方程 (4 - y ² ) = ，當初始值 ( x₀ , y ( x₀ )) 落在下列那一個 xy 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique solution）？ (A) xR , -2< y < 2 (B) x  R , y < -2 (C) x R , y > -2 (D) x R , -1 < y < 1

15 已知週期為 6 的函數 f (x) =|x|, -3  x<3 ，展開成 ，下列何者正確？ (A) (B) (C) (D)

16 函數 之傅立葉轉換（Fourier transform）為下列何者？(A) (B) (C) (D)

17 下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？(A) (B) (C) (D)

20 設 X、Y 及 Z 為三個隨機變數，且聯合機率密度函數為請決定 ,其他 X≥ 3Y≥  5Z 的機率為何？ (A) (B) (C) (D) 

(三)解 。（7 分）

三、請利用留數（residue）計算 。（10 分）