106年 - 106 國家安全情報特種考試_三等_電子組（選試英文）：工程數學#64274

1 在三維空間中，點（7, ‒4, ‒5）到平面‒7x + 4y ‒ 4z ‒19 = 0 的距離為何？ (A) (B)7 (C) (D)

2 設向量 u∈R³ , v∈R³ , w∈R³ ，其中 R³ = {(x, y, z)|x∈R, y∈R, z∈R}，下列何者錯誤？ (A)u．(u×v) = 0 (B)u×v = v×u (C)u×(v×w) = (u．w) v ‒ (u．v)w (D)(u+3v)×v = u×v

3 下列何者無反矩陣？ (A) (B) (C) (D)

4 矩陣，且已知 trace( A) = 1, |A| = 0，則下列何者是 A的特徵值之一？ (A)−1 (B)1− (C)2 (D)

5 已知 T : 為線性轉換（linear transformation）且其代表矩陣為 A，下列何者錯誤？ (A)若 rankA = n，則 T 為一對一（one to one） (B)若 A 的行向量（column vector）可以生成（span），則 T 為映成（onto） (C)若 A 為奇異矩陣（singular matrix），則 T 為同構（isomorphic） (D)若 A 的行向量（column vector）彼此為線性獨立（linear independent），則 T 為一對一

6 設矩陣 A= ，向量 ，則為何？ (A) (B) (C) (D)

7 求複變函數 4 W = 5+5i 之所有根（root）？ (A) (B) (C) (D)

 8 求 之積分值： (A) (B) (C)(D)

9 求 之留數（residue）之值為何？ (A)0.5 (B)1 (C)2 (D)3

10 下列何者不為「尤拉-柯西」方程式（Euler-Cauchy Equation）？ (A) (B) (C) (D)

11 設微分方程式 x′′(t) + 4x(t) = sin 3t 的解 x(t) 經過拉普拉斯（Laplace）轉換後為 ，下 列何者為正確之初始條件？ (A)x(0) = 1, x'(0) = 0 (B)x(0) = 0, x'(0) = 0 (C)x(0) = 0, x'(0) = ‒1 (D)x(0) = 0, x'(0) = 1

12 下列敘述何者正確？ (A) 的通解為 ，其中 c1, c2為任意常數 (B) 的通解為 ，其中 c1, c2為任意常數 (C) 的通解為，其中 c1, c2為任意常數 (D) 5 4 0 2 x y′′ + xy′ + y = 的通解為，其中 c1, c2為任意常數

13 已知 ，下列何者可為此微分方程式的解？ (A) (B) (C) (D)

14 如以對中心點 x = 0 展開之 Frobenius 數列方式求解 ，則其所得到的指示方程式（Indicial equation）為何？ (A) (B) (C) (D)

15 設微分方程式 y′′ + ay′ + by = 0 , 0 y(0) = y , 0 y′(0) = y′ 的級數解（series solution）為，試 求常數 a、b、y₀及 y′ ₀ 之值，並判定下列何者正確？ (A)(B) (C)(D)

16 將週期函數 f (t) = t，−π ≤ t ＜ π ，週期為 2π ，展開成傅立葉複係數級數： (A)(B) (C) (D)

17 假設 f (t)的傅立葉轉換（Fourier Transform）式為 F(ω)，試求 f (3t)的傅立葉轉換為： (A) (B)3F(3ω) (C)(D) F(3ω)

18 假設阿里山森林保護區共有 10 位職員，其中需要 5 位職員負責巡邏森林，2 位職員在辦公室裡負責行政 事務，而其他 3 位職員支援嘉義市，試問：此 10 位職員被分為這 3 組的方法有多少種？ (A)2520 (B)1260 (C)840 (D)630

19 連續隨機變數 X 與 Y 之結合機率密度函數為（joint probability density function），試問下列何者正確？ (A) (B)(C) E[XY] = 1 (D) E[XY ] = 5/ 6

20 假定 X 為一隨機變數，其機率密度函數（density function）為 ，求其期望值 E(X)為何？ (A)‒3 (B)‒1 (C)1 (D)3

⑴試求矩陣 A 特徵值？

⑵試求矩陣 A 特徵向量？

⑶試求？

二、請證明T：R³ →R³ ，T(x, y, z) = (x + y, x ‒ y, z)是線性轉換（linear transformation）。

三、已知 f (z) = u (x, y) + iv (x, y)在整個複數 z = x + iy 平面可解析，同時 f (0) = 0 且 u(x, y) = y ³ ‒ 3x ² y。求 f (z)。

四、求下列微分方程式的通解：=x2+1,x>0（其中）。