112年 - 112 鐵路、國家安全情報特種考試_高員三級、三等考試_電力工程、電子組（選試英文）：工程數學#114965

1某能量場可用函數φ(x,y,z)=0.5(x²+2xy+2y²+ z² ) 表示。該能量場在點 P(-1,0,1) 的最大變化率 （rate of change）為何？ (A)(B)(C)(D)

2令矩陣A=，則下列選項中何者為矩陣 A 的秩數（rank）？ (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

3考慮聯立方程組Ax=0，其中。若此方程組的通解含有6個任意常數，則A的值域空間 （rangespace）維度（dimension）為何？ (A)8 (B)6 (C) 4 (D) 3

4給定兩向量，下列選項何者錯誤？ (A)此兩向量的範數（norm）乘積為6 (B)此兩向量的內積（innerproduct）為3 (C)此兩向量的外積（crossproduct）為 (D)此兩向量的夾角為

5T為R²到R³的線性轉換，且滿足。T(u)＝？ (A)(B)(C)(D)

6若存在可逆矩陣P可將其對角化為 。則 P 的第一行行向量為 何？ (A)(B)(C)(D)

7令矩陣，則A²的特徵值（eigenvalues）不是下列那一個選項？ (A)9 (B)1 (C)16 (D)4

8下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？ (A)(B)(C)(D)

9考慮微分方程式=a(x)b(y),a(x)b(y)≠0 。若乘上積分因子 μ ( x, y) 後可將此方程式轉換成正合 （exact）微分方程式，則 μ 為下列何者？ (A)μ=a(x)(B)(C)μ=-b(y)(D)

10考慮微分方程式。若此方程式的級數解可表示為 ，則 c₃ 為何？ (A)(B)(C)(D)

11函數f(t)之拉普拉斯轉換（Laplacetransform）為ℒ{f(t)}，令 ，則下列何者正確？ (A) f (t ) = te^-t - e^-t + 1 (B) f (t ) = -te^-t + e^-t + 1 (C) f (t ) = -te^-t - e^-t - 1 (D) f (t ) = -te^-t - e^-t + 1

12函數f(t)=2cos(3t),0≤t≤ ，若在 t = 0 處，f (t)的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到 A，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 B；在 t =處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fourier  cosine series）收斂到 C，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 D。則 A,B,C,D 各值為何？ (A) A = 0, B = 0, C = 0, D = 0 (B) A = 2, B = 0, C = -2, D = 0 (C) A = 0, B = 2, C = -2, D = 0 (D) A = 2, B = 0, C = 2, D = 0

13已知函數f(t)=,a>0，則下列何者為函數f(t)的傅立葉轉換（Fouriertransform）？ (A)(B)(C)(D)

14考慮複變函數f(z)=(x³-3xy²)+i(3x²y-y³)，其中 z = x + iy 。則為何？ (A)(B)(C)(D) f ( z ) 不可以微分

15考慮複變函數（complexfunction），若 C 為逆時鐘繞圓周|z - 1 - i |= 2 的路徑，且積分∮c f (z)dz = a + bi，則下列選項何者正確？ (A)(B)a =π(C)(D)b =-π

16給定複變數函數 ， 針對區域1<| z |< 3 對函數 f ( z) 展開可 得 ( z - 1)( z - 3) f ( z ) = … + az ^-1 + b + cz + d^z 2 + …，則下列選項何者正確？ (A)(B)(C)(D)

17某元件使用壽命X（單位：小時），其機率密度函數 （ probability density function ） 為 f ( x) = 0.005e^kx , x ≥ 0 。則 k 值及元件平均使用壽命為何？ (A) k = 0.005 ，平均使用壽命 200 小時 (B) k = 0.005 ，平均使用壽命∞小時 (C) k = -0.005 ，平均使用壽命 200 小時 (D) k = -0.005 ，平均使用壽命∞小時

18某雜訊的機率密度函數（probabilitydensityfunction）為[-1,3]的均勻分佈，其變異數（variance） 為A。經過增益為5的放大器放大以後，其變異數為B。則A,B各值為何？ (A)(B)(C)(D)

19令隨機變數X,Y的聯合機率密度函數（Jointprobabilitydensity function ） 為 ，其中 k 為實數，則下列何者正確？(A)(B)邊際機率密度（Marginal probability density function）為(C)邊際機率密度（Marginal probability density function）為 (D)條件機率密度（conditional probability density function）為 

20 給定兩向量 u = [ 2 - 1 3]^T 及v = [4 - 1 2]^T ，分解 u為u₁ + u₂，其中 u₁ 為 u 在 v 的垂直投影（orthogonal  projection），則下列選項何者錯誤？ (A) 向量 u₁ = (B)向量 u₂ 的範數（norm） (C) 兩向量 u₂ , v 的外積（cross product）為零向量 (D)兩向量 u₁ , u₂ 的內積（inner product）為零

一、求微分方程式（DifferentialEquations）:之通解（generalsolution）。（15分）

(三)求系統方程式 （ system equations ） 之通解（general solution）。

(二)閉合曲線（closed curve）C 為圓|z|= 2 ；利用柯西（Cauchy）留數定理（Residue Theorem）求複數線積分。