45. 假設國文與英文期末考皆為常態分配。某班國文期末考 平均數為 70，變異數為 25，小珮的成績是 80。該班英 文期末考的平均數是 90，變異數是 16，若小珮的英文考 得跟國文一樣好，請問他的英文期末考分數為何？
(A)82
(B)90
(C)98
(D)106

答案：（C）

解析：

要比較小珮在國文和英文考試中的表現，需要將原始分數轉換為標準分數（Z 分數）。Z 分數表示原始分數距離平均數多少個標準差。

國文科：

• 平均數（μ₁）= 70
• 變異數（σ₁²）= 25
• 標準差（σ₁）= √25 = 5
• 小珮的國文成績（X₁）= 80
• 小珮國文科的 Z 分數（Z₁）= (X₁ - μ₁) / σ₁ = (80 - 70) / 5 = 10 / 5 = 2

英文科：

• 平均數（μ₂）= 90
• 變異數（σ₂²）= 16
• 標準差（σ₂）= √16 = 4
• 小珮的英文成績（X₂）= ?
• 若小珮的英文考得跟國文一樣好，則他的英文科 Z 分數（Z₂）應該等於他的國文科 Z 分數（Z₁）。
• 所以，Z₂ = 2

現在，我們可以使用英文科的 Z 分數公式反推小珮的英文期末考分數：

• Z₂ = (X₂ - μ₂) / σ₂
• 2 = (X₂ - 90) / 4
• 2 * 4 = X₂ - 90
• 8 = X₂ - 90
• X₂ = 90 + 8
• X₂ = 98

因此，若小珮的英文考得跟國文一樣好，他的英文期末考分數應為 98 分。

變異數：離差(資料值與期望值的差異)平方和的平均

標準差：變異數的平方根