6. 坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量。 已知=  (2, -1,0)， 且 = ( -1,2,3) 。 試問由所張出的平行六面體之體積為何 ？
(A) 　2√5
(B) 　5√2
(C) 　2√10
(D) 　4√5
(E) 　4√10

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統計： A(9), B(17), C(41), D(11), E(8) #3383743

詳解 (共 1 筆)

#6579620



這題的目標是求出由三個互相垂直的向量 u、v、w 



關鍵觀念一：什麼是「互相垂直的向量」？

當兩個向量「互相垂直」的時候，其實就像是牆壁跟地板是90度的關係。
例如三個向量 u、v、w，互相都垂直，就像是一個立體的「長方體」三條邊。

因為向量 u、v、w 彼此互相垂直，所以它們乘開是一個長方體。所以要想怎麼找體積 ，也就是把u、v、w這三個值找出來u、v、w ，再把uvw相乘就會得到體積的值
觀念2
還會用到另一個概念就是
如果兩個向量夾角是 90°（也就是直角），那麼它們的內積是 0。
因為
a. b = |ab|cos θ

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|a|、|b|是兩個向量的長度,

日θ是它們之間的夾角。

若0=90°,則cos 90°=0,所以:

a. b
 = |a||b|0 = 0







2.為什麼可以用長 × 寬 × 高？

因為 u、v、w 是彼此垂直的三個向量，就像是三個互相垂直的邊：

u 像「長」

v 像「寬」

w 像「高」


所以這是一個平行六面體（Parallelepiped），而且因為它的三個邊互相垂直，它其實就是一個長方體。

體積公式就是：

> V = ||u|| × ||v|| × ||w||



題目提供了三個條件：

u - v = (2, -1, 0)

v - w = (-1, 2, 3)

u、v、w 彼此都垂直



 利用向量「互相垂直」的特性

如果兩個向量垂直，代表他們的內積（dot product）是 0


1. u - v = (2, -1, 0) 


2. v - w = (-1, 2, 3) 
方法
求|u||² + ||v||² ，|v||² + ||w||² ，|u||² + ||w||²值是多少，
再把這三個加起來就會得到||u||² + ||v||² + ||w||² = 15
再用||u||² + ||v||² + ||w||² 減掉<|u||² + ||v||² ，|v||² + ||w||² ，|u||² + ||w||²>就可以找到u,v,w分別是多少，把u,v,w相乘就是長方形答案


第一步：對 u 和 v

題目說 u - v = (2, -1, 0)



對於兩個互相垂直的向量a和b,有以下性質:

||a - b||2 = ||a||2 + ||6||2

這是因為

(a - b) (a - b) = a 2-2ab+b2

「2ab=0」(因為垂直內積為0),
所以 ||a - b||2 = ||a||² + ||b||2




因此，我們得到第一個方程式：||u||² + ||v||² = 5 (式1)




第二步：對 v 和 w

題目說 v - w = (-1, 2, 3)
||v - w||²=
||v||² + ||w||²+2||V||×||W|| 
因為 v 和 w 互相垂直,2||V||×||W|| =0，
所以 ||v||² + ||w||² = ||v - w||²


||v - w||² = (-1)² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14
=|v||² + ||w||² 



||v||² + ||w||² = 14 ,式子②

我們得到第二個方程式：||v||² + ||w||² = 14 (式2)
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 第三步：對 u 和 w






利用前兩式相加可得：

u - w = (u - v) + (v - w) = (2, -1, 0) + (-1, 2, 3) = (1, 1, 3)

所以

||u - w||² = 1² + 1² + 3² = 1 + 1 + 9 = 11

因為 u 和 w 也垂直

||u||² + ||w||² = 11 ,式子③

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所以我們透過上述步驟找到

||u||² + ||v||² = 5

||v||² + ||w||² = 14

||u||² + ||w||² = 11








接著將這三式相加：

> 2(||u||² + ||v||² + ||w||²) = 30
⇒ ||u||² + ||v||² + ||w||² = 15
把這個式子減掉
|u||² + ||v||² = 5

||v||² + ||w||² = 14

||u||² + ||w||² = 11
求出每個向量的長度平方也就是u,wv的平方，把平方開根號就可以得到uvw各個值到底是多少

||w||² = 15 - 5 = 10 ⇒ ||w|| = √10

||u||² = 15 - 14 = 1 ⇒ ||u|| = √1 = 1

||v||² = 15 - 11 = 4 ⇒ ||v|| = √4 = 2


所以我們得到
||u|| = √1 = 1

||v|| = √4 = 2

||w|| = √10
把三個值相乘就會得到長方形的體積

最後計算體
V = ||u|| x ||v|| x ||w|| = 1 x 2x√10 = 2√10

因此，正確答案是 (C) 2√10。
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