111年 - 111 大學入學考試中心_學科能力測驗：數學B#105931

1.試問有多少個整數x滿足2|x|+x<10 (A)13個(B)14個(C)15個(D)16個(E)無窮多個

4.在坐標平面上，已知向量，其中點P的坐標為。試選出正確的選項。 (A)點Q在第一象限 (B)點Q在第二象限 (C)點Q在第三象限 (D)點Q在第四象限 (E)點Q位於坐標軸上

5.設矩陣，若，則a+b+c+d之值為下列哪一個選項？ (A)-8(B)-5(C)5(D)8(E)10

6.假設地球為一半徑r的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點 時移動所經過的弧線之長度為。試問哪一個選項最可能是甲地的位置？ (A)東經75°、北緯15°(B)東經30°、南緯75°(C)東經75°、南緯15° (D)西經30°、北緯75°(E)西經15°、南緯30°

7.畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。
二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。
三、空間直線上的任四個相異點的K值，和畫紙所畫的四個點之K值必須相同，其中K值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點1234PPPP,,,，如下圖。

今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點Q1,Q2,Q3,Q4描繪在畫紙上，其中。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？(A)1,2,4,8(B)3,4,6,9(C)1,5,8,9(D)1,2,4,9(E)1,7,9,10

8.有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為1的圓盤靶子，其 圓心分別為(2,2)、(4,6)與(8,1)。玩家選定一正數a，並按下按鈕後，發射台將向點(1,)a 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原 方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。 (A)雷射光束落在通過原點且斜率為a的直線上 (B)若，則雷射光束會擊中圓心為(4,6)的圓盤靶子 (C)玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子 (D)玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子 (E)玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為(8,1)的圓盤靶子，則

9.設f(x)=2x³-3x+1，下列關於函數y=f(x)的圖形之描述，試選出正確的選項。 (A)y=f(x)的圖形通過點(1,0) (B)y=f(x)的圖形與x軸只有一個交點 (C)點(1,0)是y=f(x)的圖形之對稱中心 (D)y=f(x)的圖形在對稱中心附近會近似於一直線y=3x-3 (E)y=3x³-6x²+2x的圖形可由y=f(x)的圖形經適當平移得到

11.考慮坐標平面上的點O(0,0)、A、B、C、D、E、F、G，如下圖所示：

其中B點、C與D點、E與F點、G與A點依序在一、二、三、四象限內。若為坐標平面上的向量，且滿足，則與下列哪些向量的內積一定小於0？ (A) (B) (C) (D) (E)

12.設abc,,都是非零的實數，且二次方程式ax²+bx+c=0的兩根都落在1和3之間。試選出兩根必定都落在4和5之間的方程式。 (A)a(x-2)²+b(x-2)+c=0(B)a(x+2)²+b(x+2)+c=0 (C)a(2x-7)²+b(2x-7)+c=0 (D) (E)a(3x-11)²+b(3x-11)+c=0 

18.已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到18°，此傾斜度換算 成弳（或弧度）為下列哪一個選項？（單選題，5分） (A) (B) (C) (D) (E)

13.若x,y為兩正實數，且滿足及2logy=1，則=_______。

14.坐標平面上有一個半徑為7的圓，其圓心為O點。已知圓上有A,B兩點，且=8，則內積=________。

16.袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共10顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的 機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為，皆為綠色的機率為，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為 ________。（化為最簡分數）

19.中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高分別為48、19 與57（公尺），偏移距離分別為2.3、2.3與4（公尺），塔的傾斜度分別記為θ₁°、θ₂°與θ₃°。試比較θ₁、θ₂與θ₃三數的大小關係。（非選擇題，4分）

20.假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度α°,β°分別滿足。 已知兩座鐵塔的偏移距離相差20公尺，試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。 （非選擇題，6分）