112年 - 112 大學入學考試中心_學科能力測驗：數學B#112994

1. 某抽水站發現其用電量（單位：度）與抽水馬達轉速（單位：rpm）的三次方成正比。 根據上述，試問下列這五個圖中，哪一個最可以描述此抽水站的用電量 y （度）與抽水馬達轉速 x （rpm）的對應關係？ (A) (B) (C) (D)(E)

2. 考慮實數二階方陣 ，則 c − 2b  的值為何？ (A) −11 (B) −4 (C) 1 (D) 10 (E) 11

3. 地面上有甲、乙兩大樓，已知甲的高度大於乙，且甲、乙兩大樓的水平距離為 150 公 尺。某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂，並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為 22°。假設該 繩索被拉成直線，試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？（註：眼睛往下看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為俯角） (A) 150 (B) 150sin22° (C) 150cos22° (D)(E)

6. 某甲計算多項式  f (x)=x³+ax²+bx+c除以 g(x)=ax3+bx2+cx+d的餘式，其中 a , b , c , d為實數，且 a≠ 0 。他誤看成g (x)除以 f (x) ，計算後得出餘式為 −3x−17  。假設 f (x) 除以g (x) 正確的餘式等於 px²+qx+r ，則 p 的值會等於下列哪個選項？ (A) −3 (B) −1 (C) 0 (D) 2 (E) 3

7. 已知某手電筒照射的光線為直圓錐狀，且光發散的夾角為60°，如圖所示。設牆壁與地板垂直且交界處為直線 L ，將此手電筒以垂直於 L 的方向照射，即此直圓錐的軸與 L垂直。若手電筒照射在牆壁上的光線邊緣為拋物線的一部份，則在地板上的光線邊緣為下 列哪種圖形的一部份？
(A) 兩相交直線 (B) 圓形 (C) 拋物線 (D) 長短軸不相等的橢圓 (E) 雙曲線

9. 已知 a = 6 、 b =和 d ，且 d 為有理數，將這四個數標註在數線上， 即 A(a) 、 B(b )、 C(c) 和 D(d) 。試選出正確的選項。 (A) a+b+c+d必為一個有理數 (B) abcd 必為一個無理數 (C) 點 D 有可能與點 C 的距離等於 +6 (D) 點 A 和點 B 的中點位在點 C 的右邊 (E) 數線上和點 B 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個

10. 某機構在 12 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙的細菌數量分別為 X 、 Y 。已知甲的數量每 3 小時成長為原來的2倍，例如 15 點時甲的數量為 2X 。乙的數量每 2 小時成長為原來的 2 倍，例如14點時乙的數量為 2Y 、16 點 時乙的數量為 4Y ，測量所得結果部分記錄於下表。該機構在18點時測量發現甲、乙的 數量相同，欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型來預估甲、乙 12 點至 24 點的細菌數量。根據上述，試選出正確的選項。
(A) X > Y (B) 在 13 點時，甲的數量為X (C) 在 15 點時，乙的數量為 3Y (D) 在 19 點時，乙的數量為甲的 1.5 倍 (E) 在 24 點時，乙的數量為甲的 2 倍

11. 坐標平面上有一圓，其圓心為 A  ( a ,b ) ，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點 P ( c ,c  )， 其中 a  >c > 0 ，且已知= a +c ，試選出正確的選項。 (A) a=b  (B) 點P位於直線 x +y = 0 上 (C) 點 P 在此圓內 (D) (E)

12. 在球心為 O 的球形地球儀上，有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個點，其中 A 、 B 、 C 三點都在 赤道上，且經度分別為東經0°、 60° 和90° ； D、 E 兩點都在北緯30° 線上，且經度分別 為東經0°、180° 。試選出正確的選項。 (A) 赤道的長度等於東經0° 和180° 這兩條經線長度的總和 (B) 北緯45° 線的長度等於赤道長度的 (C) 「由 A 沿赤道移動到 B 的最短路徑長」等於「由 D 沿東經0° 經線移動到北極點的路 徑長」 (D) 「由 D 沿北緯30° 線移動到 E 的路徑長」等於「由 D 沿東經0° 經線移動到北極點， 再由北極點沿東經180° 經線移動到 E 的路徑長的總和」 (E) 通過北極點與 A 點的直線與通過北極點與 C 點的直線互相垂直

13. 有兩個正實數 a 、 b ，已知ab² =10⁵ ， a²b =10³ ，則 logb =。（化為最簡分數）

14. 從 1 到 20 的 20 個整數中，取出相異的 3 個數a、b、c，使其成為等差數列，且a<b<c，則( a, b, c )的取法有種。

15.如圖所示，平面上有一點 P₀ 先朝某方向前進 2 個單位長到達點 P₁ 後，依前進方向左轉15 度；朝新方向前進 2 個單位長到達點 P₂ 後，然後再依前進方向左轉 15 度；再朝新方向前進 2 個單位長到達點 P₃ 後，…依此類推。 則向量的內積為。（化為最簡根式）

16. 正方形紙張上有一點 P ， P 點距離紙張左邊界 6 公分，距離下邊界 8 公分。今將紙張的左下角 O 點往內摺至 P 點，如圖所示。則摺進去的三角形面積是平方 公分。

17. 考慮所有只用 0, 1, 2 三種數字組成的序列，序列長度 n 是指該序列由 n 個數字組成（可重複出現）。令 a (n) 為在所有長度 n 的序列中連續兩個零（即 00）出現的次數總和。 例如長度 3 的序列中含有連續兩個零的有 000，001，002，100，200，其中 000 貢獻 2 次 00，其餘各貢獻 1 次 00，故 a(C) 6 = 。則 a(E) 的值為。

18. 若向量 ，則 k 的值為。（化為最簡分數）（選填題，3 分）