113年 - 113 大學入學考試中心_學科能力測驗：數學A#118746

1.研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物2小時後，體內仍殘留有該藥物的一半劑量，試問下列哪一選項正確？ (A)服用3小時後，體內仍殘留有該藥物的 劑量 (B)服用4小時後，體內仍殘留有該藥物的劑量 (C)服用6小時後，體內仍殘留有該藥物的劑量 (D)服用8小時後，體內仍殘留有該藥物的劑量 (E)服用10小時後，體內仍殘留有該藥物的劑量

2.如圖，OABC−DEFG為一正方體，試問向量外積與下列哪一個向量平行？
(A)(B)(C)(D)(E)

4.試問有多少個實數x滿足且0≤x<2π？ (A)1個(B)2個(C)3個 (D)4個(E)5個（含）以上

5.將1到50這50個正整數平分成甲乙兩組，每組各25個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小1。試問共有幾種分法？ (A)(B)(C)(D)(E)

6.在同一平面上，相距7公里的AB,兩砲台，A在B 的正東方。某次演習時，A 向西偏北θ方向發射砲彈，B 則向東偏北θ方向發射砲彈，其中θ為銳角，觀測回報兩砲彈皆命中9公里外的同一目標P。接著A改向西偏北方向發射砲彈，彈著點為9公里外的點 Q。試問砲台 B 與彈著點 Q 的距離為何？ (A)4公里(B)4.5公里(C)5公里(D)5.5公里(E)6公里

7.令坐標平面上滿足y=logx 的點(x,y)所成圖形為Γ，試問滿足下列哪些關係式的(x,y)所成圖形與Γ完全相同？ (A)(B)2y=log(x²)(C)3y=log(x³)(D)(E)

8.對任一正整數n≥2，令表示邊長為n,n+1,n+2的三角形。試選出正確的選項。（註：若三角形的三邊長分別為a,b,c，令，則三角形面積為） (A)皆為銳角三角形 (B)的周長形成等差數列 (C)的面積隨n增大而增大 (D)T₅的三高依序形成等差數列 (E)T₃的最大角大於T₂的最大角

9.某實驗室蒐集了大量的A、B 兩相似物種，記錄其身長為x（單位：公分）與體重y （單位：公克），得A、B兩物種的平均身長分別為=5.2、=6，標準差分別為0.3、0.1。令 A、B 兩物種的平均體重分別為 。若 A、B 兩物種其體重 y 對身長 x 的 迴歸直線分別為 :y=2x-0.6、:y=1.5x+0.4，相關係數分別為0.6、0.3。今發現一隻身長5.6公分、體重8.6公克的個體 P，試選出正確的選項。 (A)(B)A物種的體重標準差小於B物種的體重標準差 (C)就A物種而言，個體P的體重與平均體重之差的絕對值大於一個標準差 (D)點(5.6,8.6)到直線的距離小於其到直線的距離 (E)點(5.6,8.6)與點的距離小於其與點的距離

10.坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有 一邊在 x 軸上，且正方形中心 A 與正六邊形中心 B 都在 x 軸的上方，且兩多邊形恰有一個 交點 P，又知正方形的邊長為6，而點 P 到 x 軸的距離為。試選出正確的選項。 (A)點 A 到 x 軸的距離大於點 B 到 x 軸的距離 (B)正六邊形的邊長為6 (C)(D) (E)直線AP斜率大於

11.考慮二元一次方程組，其係數ab, 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令a值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時b值為1，若硬幣出現反面時b值為2。試選出正確的選項。 (A)擲出a=b的機率為 (B)此方程組無解的機率為 (C)此方程組有唯一解的機率為 (D)硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 (E)在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，x值為正的機率為

12.在坐標平面上給定三點A(1,0)、B(0,1)、C(−1,0)，令Γ為ΔABC經矩陣T=變換後的圖形，其中a為實數。試選出正確的選項。 (A)若a=0，則Γ為等腰直角三角形 (B)ΔABC的邊上至少有兩點經T變換後坐標不變 (C)Γ必有部分落在第四象限 (D)平面上找得到一個圖形Ω經T變換後為ΔABC (E)Γ的面積為定值

18.若原點O在平面E上的投影點為 Q，且向量與向量(1,0,0)的夾角為α，則cosα之值為下列哪一選項？ (A)(B)(C)(D)(E)

16.坐標平面上，已知向量在向量(2,−3)方向的正射影長比原長少1，而在向量(3,2)方向 的正射影長比原長少2。若與兩向量(2,−3),(3,2)的夾角皆為銳角，則在向量(4,7)方向的正射影長為 ________。（化為最簡根式）

19.已知空間中有一點P(a,b,c)滿足向量與向量(1,0,0)的夾角θ≤。試說明實數a,b,c滿足不等式a²≥3(b²+c²)。

20.承19題，已知點P在平面E上且b=0。試求c的最大可能範圍，並求線段的最小可能長度。