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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 100年 - 100 國家安全情報特種考試_三等_電子組：工程數學#35888
100年 - 100 國家安全情報特種考試_三等_電子組：工程數學#35888
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
100年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
6
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 已知微分方程式 y′′ +αy ′+ βy= 0的通解為y(x)+c
1
e
-2x
+c
2
e
-3x
，試求 α 及 β 之值，並判定下列何者正確？（題中 α 、β 、c1 及c2 為常數） (A) α +β =- 11 (B) α + β =11 (C) α + β = −5 (D) α + β = 5
2 下列何者可為
之解？ (A)y=e
-x2
(B) y=1+e
-x2
(C)y=2+e
-x2
(D) y=3+e
-x2
3 設微分方程式y ′+
a
y=0 , y(0) = y
0
的級數解（series solution）為
，試求常數
a
及 yo之值，並判定下 列何者正確？ (A)
a
+yo= 2 (B)
a+yo
= 3 (C)
a+yo
= 4 (D)
a+y
0
= 5
4 下列何者為微分方程式
之通解（其中
）？ (A)
，其中 為常數 c (B)
，其中 為常數 c (C)
，其中 為常數 c (D)
，其中 為常數 c
5 函數 f (t) 之拉氏轉換（Laplace transform）為 L{ f (t) }，令
，則 f (t) 可能為何？ (A)
(B) tsin(3t) (C) tcos(3t) (D) 3 t cos(3t)
6 向量場
在點 P = (-1,0,1)( 的散度（divergence）為何？ (A)
(B)
(C) −1 (D) 0
7 假設路徑 C 為一逆時針方向的單位圓| z| =1，試問下列何者不會滿足
？(A)
(B)
(C)f(z)=ze
-z
(D)
8 假設複數 z =x + iy ，則下列那一個複變數函數是屬於全函數（entire function）？ (A)
(B)
(C)
(D)
9 令複數
，試問複變數函數
的導數 （derivative） 為何？ f '(z) (A)
(B)
(C)
(D)
10 若
，則 ∇ • (fv) −f ∇ • v 為： (A) 0 (B) 3x+6y-2z (C) 6i+18i-12k(D) −6x −18y + 12z
11 下列何者為
之值，其中 C 為一圓 x
2
+y
2
=4（定義為逆時針方向）。 (A)
(B)
(C)
(D) 0
12 有一個矩陣
，以下那一項是錯的？ (A)其中一特徵值為 4 (B)有一個特徵向量為 [7 -4 2 ] (C)有一個特徵向量為 [1 0 0 ] (D)其中一特徵值為 3
13 若
，試求 ？ (A)
(B)
(C)
(D)
14 設 A 及 B 為任二 n× n 矩陣，且已知 A 為奇異矩陣（singular matrix），則下列敘述何者不恒真？ (A)矩陣 AB 為奇異矩陣 (B)矩陣 為奇異矩陣 A
T
(C)矩陣 為奇異矩陣 + BA (D)矩陣 為奇異矩陣（其中 kA k 為一常數）
15 設λ 1 ,..., λ n為矩陣 A 的特徵值，則下列敘述何者不恒真？ (A)矩陣 A
T
的特徵值為 − λ
1
,..., − λ
n
(B)矩陣 3A 的特徵值為 3λ
1
,..., 3λ n (C)若矩陣 A
−1
存在，則其特徵值為 1 / λ
1
,..., 1/ λn(D)矩陣 A
2
的特徵值為λ
1
2
,..., λ
2
n
16 設 A 及 B 為任二 × nn 可逆（invertible）矩陣，則下列敘述何者正確？ (A) AB=BA (B) )(AB)
-1
=B
-1
A
-1
(C) (A+B)
-1
=A
-1
+B
- 1
(D) (A+B)
2
=A
2
+2 AB +B
2
17 隨機變數 X、Y 之期望值（expected value）
，變異數（variance）Var X = 0.1，Var(Y) = 0.2，則 Var(X+Y) = ？ (A) 0.24 (B) 0.64 (C) 0.78 (D) 0.96
18 假設 X 和 Y 為兩個獨立的隨機變數，則下列敘述何者錯誤？ (A)隨機變數 XY 的期望值（mean）會滿足
(B)隨機變數 X 和 Y 的協方差（covariance）會滿足
(C)隨機變數Z=X+ Y 的變異數（variance）會滿足
(D)隨機變數Z=X-Y 的變異數（variance）會滿足
19 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為
。 求 K 之值為何？ (A) 0.5 (B) 1.0 (C) 2.0 (D) 4.0
20 十元錢幣 2 枚，其一擲出後人像向上之機率為
，另一枚則為
。若自此 2 枚錢幣隨機挑選一枚然後擲出 2 次，試 求第 2 次擲出為人像之機率。 (A)
(B)
(C)
(D)
申論題 (6)
【已刪除】一、利用拉氏轉換（Laplace transform）解
（10 分）
⑴試求此圓錐面於 P
0
點之切平面方程式。（5 分）
⑵試求此切平面通過 P0 點之法線方程式參數表示法。（5 分）
【已刪除】⑶考慮在此圓錐面上之一條曲線
，試求此曲線 C 上任何一點的曲率 κ (t)。（5 分）
【已刪除】三、令右上標T 表示轉置（transpose）、
，若一線性轉換（linear transformation）L相對於基底（basis）E及F（L：E → F）之代表矩陣為
，試 判定L相對於標準基底 R
3
及 R
2
（L：R
3
→ R
2
）之線性轉換函數， L(
) =？（15 分） 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣x
【已刪除】四、利用留數（residue）觀念，試求
之值。（10 分）
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之解？
(A)y=e-x2 (B) y=1+e-x2(C)y=2+e-x2 (D) y=3+e-x2 
，試求常數 a及 yo之值，並判定下
列何者正確？ (A) a +yo= 2 (B) a+yo = 3 (C) a+yo = 4 (D) a+y 0 = 5
之通解（其中 
）？
(A) 
，其中 為常數 c (B) 
，其中 為常數 c
(C) 
，其中 為常數 c (D) 
，其中 為常數 c
，則 f (t) 可能為何？
(A) 
(B) tsin(3t) (C) tcos(3t) (D) 3 t cos(3t)
在點 P = (-1,0,1)( 的散度（divergence）為何？
(A) 
(B) 
(C) −1 (D) 0
？(A) 
(B) 
(C)f(z)=ze-z (D)
(B)
(C)
(D) 
，試問複變數函數
的導數
（derivative） 為何？ f '(z) (A) 
(B)
(C) 
(D)
，則 ∇ • (fv) −f ∇ • v 為：
(A) 0 (B) 3x+6y-2z (C) 6i+18i-12k(D) −6x −18y + 12z
之值，其中 C 為一圓 x2+y2=4（定義為逆時針方向）。 (A)
(B) 
(C) 
(D) 0
，以下那一項是錯的？ (A)其中一特徵值為 4 (B)有一個特徵向量為 [7 -4 2 ] (C)有一個特徵向量為 [1 0 0 ] (D)其中一特徵值為 3 
，試求 ？ (A)
(B) 
(C) 
(D) 
，變異數（variance）Var X = 0.1，Var(Y) = 0.2，則 Var(X+Y) = ？
(A) 0.24 (B) 0.64 (C) 0.78 (D) 0.96
(B)隨機變數 X 和 Y 的協方差（covariance）會滿足 
(C)隨機變數Z=X+ Y 的變異數（variance）會滿足 
(D)隨機變數Z=X-Y 的變異數（variance）會滿足 
。
求 K 之值為何？
(A) 0.5 (B) 1.0 (C) 2.0 (D) 4.0
，另一枚則為
。若自此 2 枚錢幣隨機挑選一枚然後擲出 2 次，試
求第 2 次擲出為人像之機率。
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
（10 分）
，試求此曲線
C 上任何一點的曲率 κ (t)。（5 分）
，若一線性轉換（linear
transformation）L相對於基底（basis）E及F（L：E → F）之代表矩陣為
，試
判定L相對於標準基底 R3
及 R2
（L：R3 → R2
）之線性轉換函數， L(
) =？（15 分）
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦ ⎢
⎢
⎢
⎣x
之值。（10 分）