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103年 - 103 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#43241
科目：
數論 |
年份：
103年 |
選擇題數：
0 |
申論題數：
10
試卷資訊
所屬科目：
數論
選擇題 (0)
申論題 (10)
一、⑴求同餘方程式 17 x 9 (mod 276)的所有整數解。（10 分）
⑵求聯立同餘方程式 7 x + 3 y
10 (mod 16) , 2 x + 5 y
9 (mod 16)的所有整數解。 （10 分）
⑴對任一正整數 n， p
n +1
≤ p
1
p
2
...p
n
+ 1。（6 分）
⑵對任一正整數 n， p
n +1
≤ 2
2 n
。（14 分）
【已刪除】 n ⑴對任一正整數 n，
≤ ø(n) ≤ n 。（12 分）
⑵若 n > 1 且 ø(n)整除 n − 1，則 n 必然是幾個相異質數的乘積。（8 分）
⑴若整數 a 與 p 互質，試證明 ax y (mod p)恆有一組整數解(x
0
, y
0
)滿足 0 < |x
0
|
< √p 且 0 < |y 0| < √p 。（10 分）
⑵使用⑴的結果，試證明若 p 1 (mod 4)，則 p 可以寫成兩個平方和。（10 分）
五、⑴ F
n
= 2
2n
+1，n ≥ 1 ，稱為費瑪數。若 F
n
為質數，試證明 3 必為 mod F
n
的原根（primitive root modulo F
n
）。（10 分）
【已刪除】 ⑵設 p 為一奇質數，且r
1
, r
2
, ... ,
為從 1 到p − 1 之間所有的 mod p 的二次剩餘（quadratic 2 p −1 2 residues modulo p）；試證明若
≡ 1 (mod p ) ，則 p 3 (mod 4)。（10 分）
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10 (mod 16) , 2 x + 5 y 
9 (mod 16)的所有整數解。 （10 分）
≤ ø(n) ≤ n 。（12 分）
為從 1 到p − 1 之間所有的 mod p 的二次剩餘（quadratic 2 p −1 2 residues modulo p）；試證明若 
≡ 1 (mod p ) ，則 p 3 (mod 4)。（10 分）