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104年 - 104 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#42733
科目：
數論 |
年份：
104年 |
選擇題數：
0 |
申論題數：
9
試卷資訊
所屬科目：
數論
選擇題 (0)
申論題 (9)
一、⑴設 F
3
為一個 3 個元素的有限體。若 α 為佈於 F
3
的多項式1 + 2x + x
3
的一個根，試證 明 α 為有限體 F
3
[ α ] 的一個原元素（primitive element）。（10 分）
⑵求下列同餘聯立方程式的解：（10 分）
2x ≡ 1(mod 3)
3x ≡ 2 (mod 5)
5x ≡ 4 (mod 7)
⑴試證明 561 是一個卡邁克爾數。
⑵設 n 為一個卡邁克爾數，試證明每一個 n 的質因數 p 都滿足 p − 1整除 n − 1 。
⑴試證明若 f 是可乘函數，則 F 亦為可乘函數。
⑵反之，試證明上面敘述⑴的逆敘述亦成立。
四、設 p 為ㄧ滿足 p ≡ 1 (mod 4)之質數。若 q = 2p + 1 亦為一個質數，試證明 2 必為 mod q 的原根（primitive root）。（20 分）
五、⑴在方程式 x
2
− 2y
2
= 1 所有的正整數解(x, y)中，使得 x + y √2 最小的解稱為此方程 式的基本解。已知方程式 x
2
− 2y
2
= 1 的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正 整數解為( x
k
, y
k
)，其中 x
k
+ y
k
√2 = (3 + 2 √2 )
k
， k = 1, 2, 3, ...... 。（10 分）
⑵試證明每一個整數都可以表示成五個整數的立方和。（10 分）
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