所屬科目：數論
一、請找出 的通式並使用數學歸納法證明。（15 分）
(一)求整數 x, y 使得 89 x+ 34 y=1。（10 分）
(二)某果農以單價 8.90 購買蘋果，3.40 購買梨子，總價為 58.1，其中蘋果數量多於梨子。求蘋果與梨子的數量。（15 分）註：581/34 ≈ 17.08823，581/89 ≈ 6.52809，581/102 ≈ 5.69608，581 × 13 = 7553，581 × 34 = 17954。
三、解線性同餘系統：（15 分）x ≡3(mod 4)x≡ 2(mod 5)3 x≡1(mod 7)
(一)求模 13 的所有原根。（10 分）
(二)利用以下對應指數表求解：其中 ind a ( k ) 為使 a n≡k (mod 13) 的最小正整數 n 。以模 13 的原根 2 求解 5 x10 ≡ 2(mod 13) 。（15 分）
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
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的通式並使用數學歸納法證明。
，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）