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99年 - 99 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#46534
科目：
數論 |
年份：
99年 |
選擇題數：
0 |
申論題數：
8
試卷資訊
所屬科目：
數論
選擇題 (0)
申論題 (8)
一、將 540792 分解成質數的乘積。（10 分）
二、試求 6497 與 11899 的最大公因數。（10 分）
三、試求方程式 29 x − 19 y = 5 的最小正整數解，再利用最小正整數解寫出此方程式的所 有整數解。（10 分）
四、已知729 = 27
2
、71289 = 267
2
。試證：71111288889 等於某個正整數的平方。（10 分）
五、已知：
3
2
+ 4
2
+ 5
2
= 0
2
+ 1
2
+ 7
2
，
6
2
+ 7
2
+ 8
2
= 1
2
+ 2
2
+ 12
2
，
9
2
+ 10
2
+ 11
2
= 2
2
+ 3
2
+ 17
2
。
試對正整數 n 寫出一個等式，使得：該等式在 n = 1時就是上述第一式，在 n = 2 時就 是上述第二式，在 n = 3 時就是上述第三式。並證明所寫等式對每個正整數 n 都成立。 （15 分）
六、試證：若 n 是大於 9 的正整數，而且 n − 4 、 n − 2 、 n + 2 、 n + 4 都是質數，則 n 必 是 15 的倍數。並寫出滿足此假設條件的兩個最小正整數 n。（15 分）
七、設 n 等於兩個相異質數 p 與 q 的乘積。已知 n 的所有正因數之和為 768，而小於 n 且與 n 互質的正整數共有 660 個，試求 n 的值。（15 分）
八、試找出滿足下述條件的所有整數 n： 9n ≡ 8 ( mod 13 ) ，11n ≡ −4 ( mod 12 ) ， 0 ≤ n ≤ 500 。 請注意：所謂 9n ≡ 8 ( mod 13 ) ，乃是表示 9n − 8 是 13 的倍數。（15 分）
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