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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 97年 - 97 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#36420
97年 - 97 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#36420
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
97年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
5
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 下列何者為微分方程式y
(5)
－3y
(4)
+3y'''－y'' = 0 的一般解？ (A)y = a+bx+ce
x
+dxe
x
+hx
2
e
x
(B)y = ax+bx
2
+ce
x
+dxe
x
+hx
2
e
x
(C)y = a+bx+cxe
x
+dx
2
e
x
+hx
3
e
x
(D)y = a+be
x
+cxe
x
+dx
2
e
x
+hx
3
e
x
2 下列何者不是恰當（exact）微分方程式？
3 一個溫度計現在顯示 5℃，把它放入一個 22℃的房間內，一分鐘後溫度計顯示為 12℃，則需要多久後，溫度計顯示 為 22℃左右？ (A) 9.68 mins (B) 22.82 mins (C) 17.64 mins (D) 11.36 mins
4 下列何者為4xdy − ydx = x
2
dy 之解？ (A)（x－4）y = cx (B)（x－4）y
2
= cx (C)（x－4）y
3
= cx (D)（x－4）y
4
= cx
5 純量函數 f (x, y, z) = xyz 在點 P（－1,1,3）上，於向量
方向之方向導數（directional derivative）為何？ (A) 11 (B) 111/√71 (C) 7/3 (D) 7/√19
6 下列何者是純量場φ（x, y, z）= x
2
+2y
2
+2yz於位置（1, 0,－1）之最陡降（steepest descend）方向？ (A)（－2, 0,－2）
T
(B)（－1, 1, 0）
T
(C)（2,－2, 0）
T
(D)（1, 0, 0）
7 求
平面上的單位圓。 (A) 2π (B) 4π (C) 5π (D) 6π
8 下列線積分中，何者與積分路徑無關？
9
10 矩陣
的秩（rank）等於多少？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
11 令λ
1
,λ
2
,λ
3
,λ
4
為矩陣
之四個特徵值，則λ
1
+λ
2
+λ
3
+λ
4
+λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
等於多少？ (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 16
12 已知
的特徵值多項式為P(λ)=－1+3λ－3λ
2
+λ
3
，則P[A}=？ (A) 1 (B)－1 (C) 3 (D) 0
13 若u(t)表示單位步階函數（unit step function），則函數 f (t) = 2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π)sint 的拉式轉換（Laplace transform） 為何？
14 設A, B, P皆為n階方陣，且P可逆。令B = P
-1
AP，則下列敘述何者錯誤？ (A) A 與 B 的特徵值皆相同 (B) A 與 B 的行列式相同 (C) A 與 B 的秩（rank）相同 (D) A 與 B 皆可對角化
15 試求函數
的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）。
16 有一個週期為 6 的函數 f (x)，其在 x∈（1,7）內之函數值為
下列何者是該函數的傅立葉級數？
17 級數
的收斂半徑（radius of convergence）為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)∞
18 有一振動方程式u
tt
= c
2
u
xx
，其中
，若將其自變數 t, x 變換為 v=x+ct，z=x－ct，則可將原偏微分方 程式轉換為： (A)u
vv
= u
zz
(B)u
vv
= u
z
(C)u
zz
= u
v
(D)u
vz
= 0
19 z 是一個複數（complex number），z = x+iy，x 與 y 皆為實數，則下列敘述何者正確？ (A) 0 ≤ | sin z | ≤ 1 (B)| sin z | ≤ | sin x | (C)| cosh z | ≤ cosh x (D)| cosh z | ≤ | sinh x |
20 設x為連續隨機變數，其機率密度函數為
求其Moment-generating function
(A) 1－t
3
(B) 1－t
2
(C) 1－t (D) 1/ (1－t
2
)
申論題 (5)
一、求解 sinθ+sin3θ +sin5θ +…+sin[(2n-1)θ ]=？（10 分）
求⑴ f (x)定義於[－1, 1]的傅氏級數（Fourier series）（10 分）
【已刪除】 ⑵
（5 分）
【已刪除】三、試利用拉氏轉換（Laplace transform）方法求解
（10 分）
【已刪除】四、求解
（15 分）
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方向之方向導數（directional derivative）為何？
(A) 11 (B) 111/√71 (C) 7/3 (D) 7/√19
平面上的單位圓。
(A) 2π (B) 4π (C) 5π (D) 6π
的秩（rank）等於多少？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
之四個特徵值，則λ1+λ2+λ3+λ4+λ1λ2λ3λ4等於多少？
(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 16
的特徵值多項式為P(λ)=－1+3λ－3λ2
+λ3
，則P[A}=？
(A) 1 (B)－1 (C) 3 (D) 0
的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）。
下列何者是該函數的傅立葉級數？ 
的收斂半徑（radius of convergence）為何？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)∞
，若將其自變數 t, x 變換為 v=x+ct，z=x－ct，則可將原偏微分方
程式轉換為：
(A)uvv = uzz (B)uvv = uz (C)uzz = uv (D)uvz = 0
求其Moment-generating function 
(A) 1－t
3 (B) 1－t
2 (C) 1－t (D) 1/ (1－t
2
) 
（5 分）
（10 分）
（15 分）