97年 - 97 鐵路特種考試_高員三級_電力工程：工程數學#36631

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：97年 | 選擇題數：20 | 申論題數：4

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

1 試求初始值問題（initial value problem）的解： y" + y = t ; y(0) =1; y'(0) = 0 。 (A) y(t)＝t＋sint-cost (B) y(t)＝tsint－ cost (C) y(t)＝t＋tsint－ cost (D) y(t)＝t－ sint＋cost

2 假設 y' + p(x) y = q(x) y^a 稱為(1)式，則下列何者不正確？ (A) 若a = 0 ，則(1)式為線性微分方程式 (B) 若a = 1，則(1)式為非線性微分方程式 (C) 若a = 0 ，則(1)式為白努利（Bernoulli）微分方程式 (D) 若a = 1，則(1)式為白努利（Bernoulli）微分方程式

3 下列那一組函數是線性相依（linear dependent）？

(A)y₁=cos wx;y₂ =sin wx

(B)y₁=e^x, y2=e^2x,y₃=xe^x

(C)y₁=e^3x, y2=e^6x,y₃=e^9x

(D)y₁=x,y₂=3x,y₃=x²

4 下列何者為 y' + 2xy = 4x 之解？

5 下列那一個矩陣的行空間（column space）含有向量

，但不包含

6 下列那一個是正規矩陣（normal matrix）？

7 令矩陣

。假設有一對稱矩陣 B，對於任意 x

R3 滿足二次式（quadratic form） x ^TBx= x^T Ax ，則 B 的三個特徵值之相乘積為何？ (A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) 15

8 若 A 及 B 均為n ✕ n 矩陣，下列何者是不正確的？ (A) det(AB)=det[A]det[B] (B) det(A+B)=det[A]+det[B] (C) det(aA)=a ⁿ det[A] ; A 是一個n ✕ n 矩陣，a 是常數 (D) det(A^-1) =

其中 det[A] ≠ 0

9 試求函數f ( t ) sin² ( π t/2 ) = 的拉式轉換（Laplace transform）：

10 脈衝函數（impulse function）δ (t) 進入下列系統後，何者的響應將不會趨於固定值？

11 設C =

為逆時針方向之圓積分路徑，則下列何者不正確？

12 下列那一個等式，對於任何複數 z 不一定成立？

13 令

為一複數函數，則下列何者不是 f (z) 之隔離奇異點（isolated singular point）？ (A) z = -1 (B) z = 0 (C) z =1/ 2 (D) z =1

14 定義傅立葉轉換為

的傅立葉轉換（Fourier transform）：

15 有一週期函數

，週期為 4，k 為常數，則傅立葉係數

16 若向量u= a²i-j + 3ak 與v = ai + (a + 3)j+ ak 互為垂直，則a 不可能是下列何值？ (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 2

17 令σ (x, y,z) 為空間中某物體之密度分佈，T 為該物體所存在之領域（region），試問下列何者表其體積（volume）？

18 級數

與下列那一級數相等？

19 拋擲一枚沒有偏差（也就是出現正面或反面機會都相等）的銅板二次，已知其中一次出現正面，則這二次拋擲都是出現正面的機率為何？ (A) 1 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4

20 設一隨機變數（random variable）X，其期望值（mean value） E[X] =1，其均方差（variance）

。令Y = 3X + 2，則 E[Y² ] 之值為何？ (A) 36 (B) 34 (C) 25 (D) 18

申論題 (4)

【已刪除】一、求出下列微分方程式的通解： y'+2y'+y=-3e^-x+8xe^-x+1 （其中

）。（10 分）

【已刪除】二、

，求 A ¹⁰⁰⁰＝？（5 分）及 A ^-1000＝？（5 分）

三、應用拉式轉換（Laplace transform），求下列常微分方程式之特解（particular solution）：（15 分） ty "- ty' + y = 0，y(0)= 0， y'(0) = 1

【已刪除】四、有一函數

，求其半幅展開的傅立葉餘弦級數（以偶週期函數展開）。（15 分）