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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 99年 - 99 鐵路特種考試_高員三級_電子工程：工程數學#36465
99年 - 99 鐵路特種考試_高員三級_電子工程：工程數學#36465
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
99年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
4
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 求微分方程式 x
2
y′′ + 2xy′ − 6y = 0的通解。（題中
， 答案選項中c
1
及c
2
為常數） (A)c
1
x
−1
+ c
2
x
4
(B)c
1
x + c
2
x
−4
(C)c
1
x
−2
+ c
2
x
3
(D)c
1
x
2
+ c
2
x
− 3
2 設微分方程式 y′′ + ay′ + by = 6x + 5， y(0) = y
0
， y′(0) = y′
0
的解 y(x)的拉氏轉換為
試求常數 a、b、 y
0
及 y
0
′ 之值，並判定下列何者正確？ (A)a + b + y
0
+ y
0
′ = 4 (B)a + b + y
0
+ y′
0
= 5 (C)a + b + y
0
+ y′
0
= 6 (D)a + b + y
0
+ y′
0
= 7
3 對微分方程式的初始值問題（initial value problem）
， y(−2) = 1， y′(−2) = 2可以確定的是 x 在下列 那一區間可保證有唯一解？ (A)− ∞ < x < ∞ (B)− ∞ < x < 1 (C)− ∞ < x < −1 (D)− ∞ < x < 0
4 函數 f (t)之拉氏轉換（Laplace transform）為 L{f (t)}，令 F(s)= L{e
2t
cos3t } ，則 F(3)等於何值？ (A) 1/10 (B) 3/10 (C) 1/4 (D) 3/4
5 解微分方程式
其中 y(0) = 3：
6 複變函數
以 0 為中心展開的羅倫（Laurent）級數中 z
2
的係數為何？ (A) 0 (B) 1/2 (C) −1/24 (D) -1/120
7 請計算(1+ i)
i
之值，其中i =√ −1 ：
8 若u = 2i + j + k 、 v = i + j + 2k 及w = i + j，則(u − v)× w 為何？ (A)i − j + k (B)i + j − k (C)2i + j − k (D) 0
9 設ϕ (x, y,z) = y − 2x
2
z + z
3
，而 F 為ϕ (x, y,z)的最陡方向（Gradient），則 F 在從 P
1
= (1, 1, 1)到 P
2
=(3, 1, 4) 直線的線 積分為何？ (A) 7 (B)− 7 (C) √7 (D) 0
10 試求向量場 v = 2xyi + xe
y
j + 2zk 的旋度（curl）？ (A)(e
y
− 2x)i (B)(e
y
− 2x)k (C)(e
y
− 2x)j (D)(e
y
− 2x)
11 假設一隨機變數 X，其動量產生函數（moment-generating function）為
；試問此隨機變數 X 的 期望值（mean）為何？ (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 9
12 假設隨機變 數 X 為一個標準常態分布（ standard normal distribution ），亦即 µ
X
= 0 及
；已知機 率P(X > 1.84) = 0.0329，試求機率 P(X > −1.84) 為何？(A) 0.0329 (B) 0.0658 (C) 0.9342 (D) 0.9671
13 兩連續隨機變數 X, Y 之結合累積分配函數（joint cumulative distribution function）為 F
X ,Y
(x, y) ， x, y ∈ R，則下列何者
不恆真？(A)0 ≤ F
X ,Y
(x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R
(B) F
X ,Y
(∞,∞) = 1(C) F
X ,Y
(−∞, y) = F
Y
( y)，其中 F
Y
( y)為 Y 之累積分配函數
(D) FX ,Y (−∞,−∞) = 0
14 若一系統由二項獨立（independent）運作之組件構成，在任一組件正常運作下該系統即可正常運作，已知此二項組件 正常運作之機率分別為 0.8 及 0.4，試求此系統正常運作之機率？ (A) 0.12 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.88
15 若u = (u
1
,u
2
)，v = (v
1
,v
2
) ，下列函數何者可以定義為 R
2
上之一種內積（inner product）？(A) 〈u,v〉 = u
1
v
1
(B) 〈u,v〉 = u
1
2
v
1
2
+ u
2
2
v
2
2
(C) 〈u,v〉 = u
1
v
1
− u
2
v
2
(D) 〈u,v〉 = u
1
v
1
+ 3u
2
v
2
16 設 A、B 及 C 為任三n × n矩陣，則下列敘述何者不恆真？（答案選項中 0 為零矩陣） (A)若 rank A = n 且 AB = AC，則 B = C (B)若 rank A = n 且 AB = 0，則 B = 0 (C)若rank A = rank B，則rank A
2
= rank B
2
(D)rank A = rank A
T
17 若S為[ 1 2 1 0] , [0 0 0 1]所生成之子空間，求R
4
] 上S之正交補集（Orthogonal Complement）： (A)由[ − 2 1 0 0] , [−1 −1 1 0 所生成之子空間 (B)由[− 2 1 0 0], [−1 0 1 0]所生成之子空間 (C)由[ − 2 1 0 0] , [−1 −1 1 1]所生成之子空間 (D)由[− 2 1 1 0], [−1 −1 1 0]所生成之子空間
18 若矩陣
，則下列何者正確？
(A)假如 a = 8 則 rank [A] = 2，rank 為矩陣之秩數
(B)假如 a = 8 則 rank [A] = 3，rank 為矩陣之秩數
(C)假如 a = 1 則 rank [A] = 2，rank 為矩陣之秩數
(D)假如 a = 3 則 rank [A] = 2，rank 為矩陣之秩數
19 下列矩陣那一個不為正交（orthogonal）？
20 下列何者為微分方程式
之通解？ (A)3x
2
y − xy
3
+ 2y
2
= c ，其中 c 為常數 (B)3x
2
y − xy
3
+ 2y
2
+ x = c ，其中 c 為常數 (C)2y
2
− 2xy
3
+ xy + x = c，其中 c 為常數 (D)3x
2
y − 2xy
3
+ 2y
2
+ 2x = c ，其中 c 為常數
申論題 (4)
一、求微分方程式 y ′′ − 4y ′ + 9y =10e
2x
−12cos3x 通解 y(x) （10 分）
【已刪除】二、若F = xi + yj+ zk ，封閉曲面 s 由
和s
2
:z=6 所組成，請用此例來驗證散 度定理（Gauss 定理），亦即
，其中 n 為 s 之向外單位法向量（unit outer normal vector），V 為 s 所包圍之封閉區間。（15 分）
【已刪除】三、若 A=
試求 ， A
1000
。（10 分）
【已刪除】四、試應用留數定理（Residue Theorem），計算下列積分
，其中−1< a <1。 （15 分）
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， 答案選項中c1及c2為常數） (A)c1 x−1 + c2 x 4 (B)c1 x + c2 x −4 (C)c1 x−2 + c2 x 3 (D)c1x2 + c2 x− 3
試求常數 a、b、 y0 及 y0 ′ 之值，並判定下列何者正確？ (A)a + b + y0 + y0 ′ = 4 (B)a + b + y0 + y′ 0 = 5 (C)a + b + y0 + y′0 = 6 (D)a + b + y0 + y′0 = 7 
， y(−2) = 1， y′(−2) = 2可以確定的是 x 在下列 那一區間可保證有唯一解？ (A)− ∞ < x < ∞ (B)− ∞ < x < 1 (C)− ∞ < x < −1 (D)− ∞ < x < 0 
其中 y(0) = 3： 
以 0 為中心展開的羅倫（Laurent）級數中 z 2 的係數為何？ (A) 0 (B) 1/2 (C) −1/24 (D) -1/120 
；試問此隨機變數 X 的 期望值（mean）為何？ (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 9 
；已知機 率P(X > 1.84) = 0.0329，試求機率 P(X > −1.84) 為何？(A) 0.0329 (B) 0.0658 (C) 0.9342 (D) 0.9671
，則下列何者正確？ 
之通解？ (A)3x 2 y − xy 3 + 2y 2 = c ，其中 c 為常數 (B)3x 2 y − xy 3 + 2y 2 + x = c ，其中 c 為常數 (C)2y 2 − 2xy 3 + xy + x = c，其中 c 為常數 (D)3x 2 y − 2xy 3 + 2y 2 + 2x = c ，其中 c 為常數
和s2:z=6 所組成，請用此例來驗證散 度定理（Gauss 定理），亦即 
，其中 n 為 s 之向外單位法向量（unit outer normal vector），V 為 s 所包圍之封閉區間。（15 分）
試求 ， A1000 。（10 分）
，其中−1< a <1。 （15 分）