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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 99年 - 99 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36411
99年 - 99 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36411
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
99年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
5
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 試問
之解為何？ (A) 0 (B) π/6 (C) π/3 (D) π/2
2 下列何者為微分方程式 y′′ + 4y = 8x
2
的一般解？以下選項中的 A、B 為任意常數。
(A)y=Acos2x+Bsin2x+2x
2
(B)y=Acos2x+Bsin2x+2x
2 -1
(C)y=Acos2x+Bsin2x+4x
2
(D)y=Acos2x+Bsin2x+4x
2 +1
3 函數 f(t)之拉氏轉換（Laplace transformation）為 L{f (t)}，令
，則 f(t)可能為何？ (A) tsin(2t) (B)te
−2t
sin(2t) (C)t cos(2t) (D) te
−2 t
cos(3t )
4 設微分方程式 y′′ + ay′ + by = 0 ， y(0) = y
0
， y′(0) = y′
0
的解y(t) 的拉氏轉換為
，試求常數a、b 、y
0
及 y′
0
之值，並判定下列何者正確？
(A) a + b + y
0
+ y ′
0
= 0
(B) a + b + y0 + y′
0
= −1
(C) a + b + y0 + y′
0
= −2
(D) a + b + y0 + y′
0
= −3
5 對於此微分方程式 x
2
y′′ − 3xy′ + 3y = 2x
4
e
x
，下列何者錯誤？ (A)其解含有x
3
項 (B)其解含有xe
x
項 (C)其解含有x
2
e
x
項 (D)其解含有x
2
e
2x
項
6 複變函數
在 z = π 的留數（residue）為何？其中i = √−1 (A)π
2
− i (B) 2(π
2
− i) (C)i − π
2
(D) 2(i − π
2
)
7 假設一複變函數 f (z) = x
2
− y
2
− 2y + i(2x − 2xy)，令複數 z = x + iy ，而其共軛複數為
，試問此複 變函數可以下列何種形式表示？ (A) z
2
+ 2iz
8 假設一複變函數
，試問當 z 趨近於零時， f (z) 之極限值（limit）為何？ (A) 0 (B) 1 (C)-1 (D)不存在
9 若 v = x
2
yi − z
3
j + 2k ，∇
2
v 等於： (A) 2yi + 6zj (B) 2yi − 6zj (C) − 2yi + 6zj (D) − 2yi − 6zj
10 若 A，B，C，D 之座標分別為(-1,2,2)，(0,1,1)，(-4,6,8)，(-3,-2,4)，則以
為三邊之平行 六面體的體積為： (A) √12 (B) 12 (C) √18 (D) 18
11 讓ϕ(x, y,z) = xy − yz + xyz ，其在點 P = (0,−1,1) 最陡變化方向（gradient）為何？
(A)2i − j + k
(B) i + 2j − k
(C) 2i + j − k
(D) − 2i − j+ k
12 若矩陣
及
，求A
6
-3A
5
-4A
4
+13A
3
-3A
2
-3A+13I
(A) A
2
+A+I
(B) A+I
(C) A
2
+2A+i
(D)A
2
+A
13 令矩陣
，則下列敘述何者錯誤？
(A)矩陣 A 的行列式值（determinant）為 6
(B)矩陣 A 有三個互異的特徵值，且其和為 6
(C)矩陣 A 為不可對角化（not diagonalizable）
(D)矩陣 A 的各個特徵向量互為線性獨立（linearly independent）
14 令矩陣
，且已知(a-d)
2
+4bc>0 ，則下列敘述何者不恆真？
(A)矩陣 A 為可對角化（diagonalizable）
(B)矩陣 A 的各個特徵向量（eigenvector）互為線性獨立（linearly independent）
(C)矩陣 A 有二個相異的特徵值（eigenvalue），且其和為 a+d
(D)矩陣 A 有二個相異的特徵值（eigenvalue），且其積為 ad+ bc
15 若矩陣 A 之特徵值（eigenvalue）為 0，-1，-2，令 I 表示單位矩陣，則 A(A + I)(A + 2I) 之特徵值為何？ (A) 0，0，0 (B) 0，-1，-2 (C) 0，1，2 (D) 1，2，3
16 若A、B、X均為非奇異方陣（non-singular matrix），且A
-1
( BX )
-1
= (A
-1
B
3
)
2
，則X =？ (A)A
-4
BA
-3
(B)B
-2
AB
-3
(C)BA
-1
B
-3
(D)B
-4
AB
-3
17 兩 連 續 隨 機 變 數 X 、 Y 之結合 機 率 密 度 函 數 （ joint probability density function ） 為
，求機率 P(X+Y>1) =？ (A) 5/8(B) 3/4 (C) 4/9 (D) 5/6
18 隨機變數 X、Y 之結合機率 P(X = x, Y = y) 如下表，則下列機率何者正確？
(A)P(X<Y)=3/8 (B)P(X<Y)=2/3 (C)P(X>Y)= 1/3(D)P(X>Y)=1/2
19 離散隨機變數 X 之機率為
，則期望值（expected value） E(4X+7)為何？ (A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 17
20 若一系統由 2 項獨立（independent）運作之組件構成，在此 2 組件皆正常運作下該系統才可正常運作，已 知此 2 項組件正常運作之機率分別為 0.8 及 0.4，試求此系統正常運作之機率： (A) 0.12 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.88
申論題 (5)
【已刪除】一、試利用拉氏轉換（Laplace transformation）求解：（15 分）
【已刪除】一、設曲線 c 之參數表示式為 x = √3t，y = sint，z = cost 求自(0,0,1)到( √3π ,0,−1)之線 積分
。（10 分）
⑴求矩陣X使得D = X
-1
AX為一對角矩陣（diagonal matrix）。（7 分）
⑵求A
100
+ 2A
101
。（8 分）
【已刪除】三、試將函數
在 1<|z|<2 的範圍內，以勞倫茲級數（Laurent series） 展開表示之。（10 分）
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之解為何？ (A) 0 (B) π/6 (C) π/3 (D) π/2 
，則 f(t)可能為何？ (A) tsin(2t) (B)te−2t sin(2t) (C)t cos(2t) (D) te−2 t cos(3t )
，試求常數a、b 、y0及 y′
在 z = π 的留數（residue）為何？其中i = √−1 (A)π2 − i (B) 2(π2 − i) (C)i − π2 (D) 2(i − π2)
，試問此複 變函數可以下列何種形式表示？ (A) z2 + 2iz 
，試問當 z 趨近於零時， f (z) 之極限值（limit）為何？ (A) 0 (B) 1 (C)-1 (D)不存在 
為三邊之平行 六面體的體積為： (A) √12 (B) 12 (C) √18 (D) 18 
及
，求A6-3A5-4A4+13A3-3A2-3A+13I
，則下列敘述何者錯誤？ 
，且已知(a-d)2+4bc>0 ，則下列敘述何者不恆真？ 
，求機率 P(X+Y>1) =？ (A) 5/8(B) 3/4 (C) 4/9 (D) 5/6 
，則期望值（expected value） E(4X+7)為何？ (A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 17 
。（10 分）
在 1<|z|<2 的範圍內，以勞倫茲級數（Laurent series） 展開表示之。（10 分）