41. 設a1 = 12 × 8， a2 = 102 × 98， a3 = 1002 × 998，a4 = 10002 × 9998，……，依此 建立的規則至a20，令S =，求 S 的各位數字之和為多少?(即若S = 3475，則 S 的各位數字之和為 19)
(A)18
(B)21
(C)24
(D)27

答案：登入後查看
統計： A(6), B(59), C(22), D(11), E(0) #3469029

詳解 (共 3 筆)

#6514403
這是一連串利用「平方差公式」a² - b...
(共 355 字，隱藏中）
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#6524643

現在我們有 T 是一個由「20 個 1 組成的數字」，例如：

T=100000000000000000000000000000000000000100000000...（總共有20個「1」）
→ 它的數位和是：1 × 20 = 20

當你從 T 減去 80，會：

  • 在最末位「1」與其後的「0」中產生借位

  • 導致最後那一段變成很多「9」，一個「2」，一個「0」

  • 原本的那個「1」不見了，但被借成很多「9」，導致數位和變多

為什麼「剛好多出 1」？

因為：

  • 你失去了 1 個「1」，所以少了 1

  • 但你因為借位，出現了：

    • 兩個 9：+18

    • 一個 2：+2

    • 一個 0：+0

  • 所以總和是：+20 -1 = +19

但不是所有的「1」都被借掉，只是最後一段，所以總共增加的數位和大約就是：原來是 20 → 借位後變成 21

原始總和 T：

ㅤㅤT = 10101010101010101010101010101010101010100

  • 這是：10² + 10⁴ + 10⁶ + … + 10⁴⁰ 的總和

  • 結構就是「每兩位有一個 1，其餘為 0」

  • 總共有 20 個數字 1

  • 所以 T 的各位數字總和 = 1 × 20 = 20

減去 80 後的結果 S：

ㅤㅤS = T - 80 = 10101010101010101010101010101010101010020

  • 原本尾數是「...0100」，因為減去 80，發生了連續借位

  • 借位過後，尾部變成了 ...0020，中間也連帶變化

S 的末尾 20 位數：

末尾：01010101010101010020 

可以看出：

  • 原本可能是 ...01010101010101010100

  • 減 80 後變成 ...01010101010101010020（最後變成「20」）

重要變化觀察：

  • 原來末尾的「1」被借掉了

  • 借位後，後面變成了「2」「0」

  • 但數位和整體反而 從 20 → 21 (19個1+1個2=21)

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資料來源:三民輔考數學
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