(i) always 

There are a total 22 problems. The first 3 problems are CALCULATION problems, andthe rest of 19 problems are MULTIPLE choices. All of the MUTIPLE choices problemshave only SINGLE correct answer. Please CLEARLY write your answers with associatedproblem numbers on the answer sheet. There will be NO partial credit given to the MUL-TIPLE CHOICE problems, anything that is not on the answer sheet will NOT be counted.Problem 1. Given a matrixwhere a is a real number. Find the rank of A| and give the corresponding range of a.

(i) (10 %) Find the Eigenvalues and Eigenvectors for

(ii) (5 %) Show that there exists a matrix , which is similar to the matrix in the Jordon form, i.e.,

(1) Find the range space (i.e., column space) of A, denoted as R(A), and the row space of A (i.e., R()) where denotes the transpose of A; 

(2) find the projection matrix such that , and ;

(3) find the eignevalues and eigenvectors of .

(1) Is Tr(AX) ≥ 0 true? 

(2) Is it true that if Tr(AX) = 0, then AX = 0 (zero matrix)? Prove or disprove your answer.

(ii) sometimes

(iii) never independent.

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_機械工程學系、機械工程學系(光機電工程)、能源工程研究所_(共同)：工程數學#125285

110年 - 110 國立臺灣大學_碩士班招生考試_部分系所：工程數學(A)#125255

110年 - 110 台灣聯合大學系統_碩士班招生考試_電機科:工程數學(C)#125211

110年 - 110 台灣聯合大學_碩士班招生_電機類：工程數學C#124898

110年 - 台聯大_工程數學B#113346

110年 - 110 國立臺灣科技大學_碩士班招生試題_材料科學與工程系(乙組)：工程數學#113288

110年 - 110 國立台北科技大學碩士班招生考試_自動化科技研究所：工程數學#111318

110年 - 110 國立臺灣大學_碩士班招生考試_部分系所:工程數學(D)(含線性代數、機率與統計)#111303

110年 - 110 台灣聯合大學系統碩士班招生考試_電機類:工程數學A#110408

110年 - 110 國立臺北科技大學_碩士班招生考試_機械工程系機電整合碩士班：工程數學#107430