107年 - 107 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：線性代數#74277

科目：線性代數 | 年份：107年 | 選擇題數：0 | 申論題數：7

試卷資訊

所屬科目：線性代數

選擇題 (0)

申論題 (7)

一、A 是一個 m × n 的矩陣，其秩（rank）為 r，且存在一個 m × 1 的向量 b 使得 Ax = b 是無解，那麼 m、n 及 r 三個量的大小（含等號）關係為何？（10 分）

⑴若 λ 為 A 矩陣的一個固有值（eigenvalue），試證 λ³ = 1。（10 分）

⑵試求 A 矩陣的跡（trace）與行列式（determinant）。（10 分）

三、考慮平面直線 y = 2 x 的反射線性函數 T，如圖所示，若 A = (a,b)且 T(a,b) = B，則，試求此線性函數 T 相對於標準基底 β = {(1,0), (0,1)}的矩陣表示[T ]_β。（20 分）

四、假設 T : V → V 為線性函數，且 V 為有限維度的向量空間，且 T 和 T ² 的秩（rank）相等。試證： R (T ) ∩ N(T ) = {0} ，其中 0 屬向量空間 V 的零元素，R(T)為 T 的值域，N(T)為 T 的零空間。（25 分）

五、⑴假設 A 是如下的 3×3 矩陣：

試求： A 的所有固有值（ eigenvalues ）和其相對應的固有向量（eigenvectors）。（10 分）

⑵利用子題⑴之特性，考慮如下的方程式：

3x ² + 3 y ² + 3 z ² − 2 xz − 1 = 0

試求： x² + y ² + z ² 的最大值且 x, y, z 滿足上述方程式。（15 分）