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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 97年 - 97 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36441
97年 - 97 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36441
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
97年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
6
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 利用變換變數v = x + 2y,z = x - 2y 可將偏微分方程式4uxx - uyy= 0 轉換為：（其中
） (A) u
vv
= 0 (B) u
zz
= 0 (C) u
vz
= 0 (D) u
vv
+ u
zz
=0
2 下列那一個是ln(-1+ √3i)的解？ (A) ln 2 + iπ/3
(B) ln 2 - i2π/3
(C) ln 2 - i 4π/3 (D) ln 2 - iπ/3
3 f(t)是週期為 4 的函數，在- 2 ≤ t ≤ 2之間定義為 f(t)＝t
2
。將 f(t)的傅利葉級數（Fourier series）表示成
求 a
0
之值為何？ (A)10/3 (B)8/3 (C)5/3 (D)4/3
4 計算線積分
其中 C 表示一個三角形邊線，該三角形的頂點 P1(1,0,0) ，P2(0,1,0)，P3(0,0,1)，C 的方向從 P
1
到 P
2
到 P
3
。 (A)1/2 (B)1 (C)3/2 (D)4
5 試求 y" - 3y' + 2y = e
x
之解，其中 c
1
, c
2
為任意實數。
(A) y=c
1
e
x
+c
2
e
2x
(B) y=c
1
e
x
+c
2
e
2x
-e
x
(C) y=c
1
e
x
+c
2
e
2x
-xe
x
(D)y=c
1
e
x
+c
2
e
2x
+e
x
6 下列何者不是微分方程式
的通解的其中一項？ (A) e
-x
(B)e
x
(C)e
2x
(D)e
-2x
7 定義函數 f(t)的傅利葉轉換（Fourier transform）為
其中i =√ -1 。求 f(5t)的傅利葉 轉換為何？
8 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為
則 XY 的期望值（mean）為何？ (A) 1 (B) 15/4 (C) 15/2 (D) 15
9 給定一個離散隨機變數（discrete random variable）X，它的機率質量函數（probability mass function）為
則 X 為偶數的機率為何？ (A) 1/3 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4
10 級數（series）
之收斂半徑（radius of convergence）R 為何？ (A)R=1 (B)R=π/4 (C)R=1/e (D)R=∞
11 令
則下列何者正確？ (A) f (0) = 1 (B) f (1) = cos 4 (C) f (3) = 1 (D) f (π ) = 0
12 若一系統之轉移函數為 s/(s +1)
2
，則此系統之脈衝響應（impulse response）為：
(A)e
-2t
-e
-t
(B) e
-2t
-e
-t
sin t
(C) e
-t
-te
-t
(D)e
-2t
sin t-e
-t
13 若拉氏轉換（Laplace Transform） Y(s) = 1/(s +1)
4
，則 L
-1
[Y(s)]=y(t) =?
14 令 A 與 B 皆為 3×3 的矩陣（matrix），現已知 A 的行列式（determinant）值是 2，B 的行列式值是 5， 且 △ = 3AB。則△ 的行列式值是： (A) 30 (B) 90 (C) 180 (D) 270
15 下列敘述何者正確？
(A) 如果矩陣 AB= 0，則矩陣 A = 0，或矩陣 B= 0，或 A = B= 0
(B) 如果矩陣
的第一列（row）與第三列相同，則矩陣 AB 的第一列與第三列也相同，其中
(C) 如果矩陣 A ≠ 0，矩陣 B ≠ 0，矩陣 C ≠ 0，並且 AC = BC，則 A = B
(D) 如果矩陣 A，矩陣 B 皆為對稱矩陣（symmetric matrix），則 AB 也是對稱矩陣
16 令 X、Y、Z 與 W 皆是 R
3
的子空間（subspace）。X 是由向量
擴展而成，Y 是由向量
擴 展 而 成 ， Z 是 由 向 量
擴 展 而 成 ， W 是 由 向 量
擴展而成。記號“⊥ ”表示垂直。下列何者正確？ (A) X⊥Y (B) X⊥ Z (C) Y⊥ Z (D) W ⊥ Y
17 將函數 f (t) = (cos(5πt))
3
的複數傅利葉級數（complex Fourier series）表示成
，其中i = √-1 。 求 e
it5π
的係數 c
1
之值為何？ (A) 3i / 8 (B) i / 8 (C) 1/8 (D) 3/8
18 有一個旋轉角錐體的表面方程式描述為 z
2
-5(x
2
+y
2
)=0，求其表面上一點(1,2,5)的單位法向量為何？
19 下列何者為微分方程式 y' = (x - y + 1 )
2
+ x - y 之通解？其中 c 為任意實數。
20 現已知
，其中 C 表示單位圓（unit circle） z = e
iθ
，(-π ≤ θ ≤ π ) 。請利用此結果來計算
(A) 2π (B) π (C) 0 (D) - π
申論題 (6)
【已刪除】一、解微分方程式
（10 分）
【已刪除】二、求解
，a > 0，b > 0。 （10 分）
【已刪除】⑴ 設定x
1
(k)G
k+1
,x
2
(k)=G
k
，將關係式
表示為矩陣方程式：
試求 2×2 矩陣 A。（5 分）
【已刪除】 ⑵ 試求 A
k
＝？
（10 分）
⑴ 證明隨機變數 Z 的機率密度函數 f
Z
(z) 和 f
X
(x) 與 f
Y
( y) 間具有下面的關係 f
Z
(z) ＝ f
X
(x) * f
Y
( y) 其中“*”意指褶積（convolution operation）。 （5 分）
【已刪除】⑵ 假設 f
X
(x) 和 f
Y
( y) 的表示式如下
其中 0＜a＜b，而 u(•)代表單位步階函數（unit-step function）。求算隨機變數 Z 的機率密度函數 f
Z
(z) ，並繪圖表示之。 （10 分）
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） (A) uvv= 0 (B) uzz= 0 (C) uvz= 0 (D) uvv+ uzz =0 
求 a0之值為何？ (A)10/3 (B)8/3 (C)5/3 (D)4/3
其中 C 表示一個三角形邊線，該三角形的頂點 P1(1,0,0) ，P2(0,1,0)，P3(0,0,1)，C 的方向從 P1到 P2到 P3。 (A)1/2 (B)1 (C)3/2 (D)4
的通解的其中一項？ (A) e-x(B)ex (C)e2x (D)e-2x
其中i =√ -1 。求 f(5t)的傅利葉 轉換為何？ 
則 XY 的期望值（mean）為何？ (A) 1 (B) 15/4 (C) 15/2 (D) 15 
則 X 為偶數的機率為何？ (A) 1/3 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4 
之收斂半徑（radius of convergence）R 為何？ (A)R=1 (B)R=π/4 (C)R=1/e (D)R=∞
則下列何者正確？ (A) f (0) = 1 (B) f (1) = cos 4 (C) f (3) = 1 (D) f (π ) = 0 
的第一列（row）與第三列相同，則矩陣 AB 的第一列與第三列也相同，其中
擴展而成，Y 是由向量
擴 展 而 成 ， Z 是 由 向 量 
擴 展 而 成 ， W 是 由 向 量 
擴展而成。記號“⊥ ”表示垂直。下列何者正確？ (A) X⊥Y (B) X⊥ Z (C) Y⊥ Z (D) W ⊥ Y 
，其中i = √-1 。 求 eit5π 的係數 c1 之值為何？ (A) 3i / 8 (B) i / 8 (C) 1/8 (D) 3/8 
，其中 C 表示單位圓（unit circle） z = eiθ ，(-π ≤ θ ≤ π ) 。請利用此結果來計算 
(A) 2π (B) π (C) 0 (D) - π
（10 分） 
，a > 0，b > 0。 （10 分） 
表示為矩陣方程式： 
試求 2×2 矩陣 A。（5 分）
（10 分） 