98年 - 98 鐵路特種考試_高員三級_電力工程：工程數學#36568

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：98年 | 選擇題數：20 | 申論題數：4

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

1 一微分方程式為(x ² + 3y ² )dx − 2xydy = 0，試求其通解：（其中 k 為任意實數。） (A) x ² = k(x + y)

(B) x ³ = k(x ² + y ² )

(C) y ² = k(x + y)

(D) y³ = k (x + y)

2 設 L{ f (t)} 為 f (t)之拉氏轉換，下列何者為錯？

(A) L{af (t) + bg(t)} = L{af (t)}+ L{bg(t)}

(B) L{af (t) + bg(t)} = aL{ f (t)}+ bL{g(t)}

(C) L{af (t) *bg(t)} = aL{ f (t)}×bL{g(t)}，*為迴旋積分

(D) L{af (t)×bg(t)} = aL{ f (t)}×bL{g(t)}

3 微分方程式

，且 y(0) = y'(0) = 0，求 y(1) 為何？ (A)4e⁻¹ − 8 (B)8e⁻¹ − 4 (C)8e⁻¹ + 4 (D)4e⁻¹ +8

4 試求反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform） L⁻¹ {(3s − 2)/[s ² + 6s + 25]}： (A)3cos 2t − 2sin 2t (B) 3 e^− 3t cos2t −2e^−3 t sin 2t (C) 3e ^−3t cos4t −2.75e^−3t sin4t (D)e^−3t cos2t −e^−3t sin 2t

5 設一三度空間內之曲線可表示為位置向量F(t) = cos(t)i + sin(t)j + √3tk ，其中− π ≤ t ≤ π ，則該曲線長度為何？ (A)2π (B) 4/3π (C)2√3π (D)4π

6 令F (s )t = L

，則下列何者正確？ (A) F(0) = 5/8

(B) F(−1) = 1

(C) F(1) = 10/27

7 下列那一向量與平面3x − 5y + 2z = 10垂直？ (A)[1, −1,1] (B)[1,1,1]

8 f (t)是週期為2π 的函數，定義 g(t)為

，將 g(t)的傅利葉級數（Fourier series）表示成

。下列敘述何者正確？ (A)a_n = 0, n = 1,2,3,^... (B)b_n = 0, n = 1,2,3,^... (C)a0 ≠ 0 (D)a_n + b_n = 0, n =1,2,3,^...

9 矩陣

的零空間（null space）可以向量形式 αv₁ + βv₂ 表示，其中α 及 β 為常數，則下列何者正確？

10 設

；當 A 的特徵值（eigenvalues）為 λ₁ =4 λ₂ = 7 時，a = ? b = ? (A)a = 11, b = 28 (B)a = 11, b = −28 (C)a = 28, b =11 (D)a = −28, b = 11

11 假設 x 是常態分配（normal distribution），其機率密度函數為 N(0,1) ，且 P(x ≤ −0.43) = 1/ 3， P(x ≤ 0) =1/ 2 。今有 y 也是常態分配，其機率密度函數為 N(3,4)，若2P( y ≤ c) = P( y > c) ，則 c 為： (A) 1.14 (B) 2.14 (C) 3.14 (D) 4.14

12 給定三個獨立（independent）的隨機變數 X，Y，Z，每一個隨機變數的期望值（mean）都是 µ ，變異值（variance）都是σ²。定義隨機變數 W 為W = (X + Y + Z)/ 3，求 W 的變異值（variance）為何？ (A) 1/3 σ² (B)σ² (C)2σ² (D) 3σ²

13 有一個週期為2π 的函數 f (x) = x ² ，−π ≤ x ≤ π ，用傅立葉展開方式求

等於下列何值？ (A) π/6 (B) π ²/6 (C) π/2 (D) π/3

14 將 F(x) = x ² , 0 < x < 2π ，展開為傅立葉級數，當週期為2π 時，

，則 b_n =？

15 求

之值為何？ (A) 1/4 (B)1/3 (C) 1/2 (D) 1

16 假設 z = x + iy 為複數（complex number），下列那一個是全函數（entire function）？ (A) f (z) = 2xy + i(x ² − y ² ) (B)

的共軛複數（complex conjugate） (C) f (z) =

(D) f(z) = ( z²− 2)e^−xe−^iy

17 函數

在 x = 0可解析，因此 Taylor 級數展開存在

，則x³ 的係數c³ 之值為何？ (A)−1/16 (B)− 3/16 (C)1/16 (D)3/16

18 若w ³ − 3z ² w + 4ln z = 0 ，求 dw/dz = ？（其中w = w(z) 。）

19 令u = u(x, y) ，則下列何者不滿足偏微分方程式u_yy + 3u_y − 4u = 0 ？ (A) x ² e^{−4 y}

20 設 C 為圓| z |=1之封閉曲線，求

= ？ (A) 1 (B)2πi (C) 0 (D)π

申論題 (4)

【已刪除】一、求出下列微分方程式的通解：

(15分)

【已刪除】二、試求圓錐面

（注意：不包括該圓錐體之圓形底面。）（10 分）

【已刪除】三、試應用留數（Residue）計算下列積分

四、假設 A 是一個2× 2實數矩陣，而且tr(A) = 8及det(A) =12，則請問 A 的特徵值（eigenvalues）為何？（提示：tr(A) ≡trace of A；det(A) ≡determinant of A）（10 分）