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101年 - 101 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#44636
> 申論題
一、⑴求 8 x ≡ 10(mod 35)的所有整數 x 之解。（10 分）
相關申論題
⑵求同餘聯立方程 8 x ≡ 10(mod 35) 和 x ≡ 10(mod 34)的所有整數 x 之解。（10 分）
#147800
二、令 u, v 為 自 然 數 ， 滿 足 u 2 + 16 2 = v 2 和 i u + i v = −2 ， 求 所 有 (u, v) 之 值 。 【 用 28 = (v + u )(v − u ) 】（20 分）
#147801
三、令 u 的自然數滿足 u 2 ≡ 319 (mod 13) 和 u < 13 ，求所有 i u 之值。【用費馬小定理和尤 拉判別法 Euler’s Criterion】（20 分）
#147802
四、令 v 為自然數， p 為 v 之某質因數。假設對所有整數 x, v 皆滿足 x v ≡ x (mod v )，證明 ( p − 1) | (v − 1) 。【先敘述 p 的原根，Primitive Root modulo p】（20 分）
#147803
五、某市放颱風假，出現 to be or not to be 的選擇，請先編碼（Encode）這句英文成為 26 位的數字，記為 D。方法如下：依序接連取 a 為 10，b 為 11，c 為 12，…， y 為 34，z 為 35。設只有 yes 和 not 二種選擇，依上法 yes 編成 6 位數字，記為 Y。not 編成 6 位數字，記為 N。令 26 位數 D = u ⋅ 1013 + v ，其中 u, v 為自然數且 u, v 皆小於 1014 。比較 2i u + i v 和 i Y + i N 的實部與虛部，造成相同數字的 Y 或 N 為其選擇，請問 某市選擇 yes 或 not？（20 分）
#147804
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
#544011
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
#544010
(二)利用以下對應指數表求解：其中 ind a ( k ) 為使 a n≡k (mod 13) 的最小正整數 n 。以模 13 的原根 2 求解 5 x10 ≡ 2(mod 13) 。（15 分）
#544009
(一)求模 13 的所有原根。（10 分）
#544008
三、解線性同餘系統：（15 分）x ≡3(mod 4)x≡ 2(mod 5)3 x≡1(mod 7)
#544007
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