題組內容

2. 假設一經濟體系的生產函數為： Y = ΑK^0.3N^0.7 在 2000 年時，K(資本)= 1000，N(勞動力)= 100，Y(產出)= 199.5。在 2010 年時，資本、勞動力以及產出都翻倍，亦即 K = 2000，N = 200，Y = 399。

(1)從 2000 年至 2010 年，生產力的成長為多少百分比？ (5 分)

詳解 (共 1 筆)

詳解提供者：sung ann lee

已知條件：

生產函數為

Y=AK0.3N0.7Y = A K^{0.3} N^{0.7}Y=AK0.3N0.7

年份	K	N	Y
2000	1000	100	199.5
2010	2000	200	399

第一步：求 2000 年的 A₍₂₀₀₀₎

199.5=A2000×10000.3×1000.7199.5 = A_{2000} \times 1000^{0.3} \times 100^{0.7}199.5=A2000×10000.3×1000.7

計算：

10000.3=103×0.3=100.9=7.9431000^{0.3} = 10^{3×0.3} = 10^{0.9} = 7.94310000.3=103×0.3=100.9=7.943 1000.7=102×0.7=101.4=25.119100^{0.7} = 10^{2×0.7} = 10^{1.4} = 25.1191000.7=102×0.7=101.4=25.119 7.943×25.119=199.47.943 \times 25.119 = 199.47.943×25.119=199.4 A2000=199.5199.4≈1.0005A_{2000} = \frac{199.5}{199.4} \approx 1.0005A2000=199.4199.5≈1.0005

→ 可視為 A₍₂₀₀₀₎ ≈ 1。

第二步：求 2010 年的 A₍₂₀₁₀₎

399=A2010×20000.3×2000.7399 = A_{2010} \times 2000^{0.3} \times 200^{0.7}399=A2010×20000.3×2000.7

計算：

20000.3=(2×1000)0.3=20.3×10000.3=1.231×7.943=9.7782000^{0.3} = (2 \times 1000)^{0.3} = 2^{0.3} \times 1000^{0.3} = 1.231 \times 7.943 = 9.77820000.3=(2×1000)0.3=20.3×10000.3=1.231×7.943=9.778 2000.7=(2×100)0.7=20.7×1000.7=1.624×25.119=40.8200^{0.7} = (2 \times 100)^{0.7} = 2^{0.7} \times 100^{0.7} = 1.624 \times 25.119 = 40.82000.7=(2×100)0.7=20.7×1000.7=1.624×25.119=40.8 9.778×40.8=399.09.778 \times 40.8 = 399.09.778×40.8=399.0 A2010=399399.0≈1.000A_{2010} = \frac{399}{399.0} \approx 1.000A2010=399.0399≈1.000

→ A₍₂₀₁₀₎ ≈ 1。

第三步：生產力成長率

生產力成長率=A2010−A2000A2000×100%\text{生產力成長率} = \frac{A_{2010} - A_{2000}}{A_{2000}} \times 100\%生產力成長率=A2000A2010−A2000×100% =1.000−1.00051.0005×100%≈0%= \frac{1.000 - 1.0005}{1.0005} \times 100\% ≈ 0\%=1.00051.000−1.0005×100%≈0%

✅ 結論：

從 2000 年到 2010 年，生產力（A）幾乎沒有變化，
生產力成長率 ≈ 0%。