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107年 - 107 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#74240
> 申論題
一、畢氏三角形為一個直角三角形，其三邊長度都是整數，證明畢氏三角形 內接圓的半徑一定是整數。（15 分）
相關申論題
二、證明若 p 是一個奇質數，則雷建得符號（Legendre symbol）
#301462
三、⑴將 gcd(12378,3054)寫成 12378 和 3054 的線性組合。（10 分）
#301463
⑵求正整數 k, l, m, n 滿足 k2 + l2 + m2 + n2 = 9828。（15 分）
#301464
四、⑴證明 41 可以整除220 ‒1。（10 分）
#301465
⑵運用 Fermat 的方法因式分解數字 119143。（10 分）
#301466
五、證明若 x1, y1 是 x2 ‒ dy2 = 1 的原始解（fundamental solution），則此方程 式的正整數解 xn, yn 可以由方程式 xn + yn √d = ( x1 + y1 √d ) n , n = 1, 2, 3…求 得。（20 分）
#301467
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
#544011
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
#544010
(二)利用以下對應指數表求解：其中 ind a ( k ) 為使 a n≡k (mod 13) 的最小正整數 n 。以模 13 的原根 2 求解 5 x10 ≡ 2(mod 13) 。（15 分）
#544009
(一)求模 13 的所有原根。（10 分）
#544008
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