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102年 - 102 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#44082
> 申論題
題組內容
三、
⑵求所有正整數 n ，滿足“比 n 小，且與 n 互質的正整數共有 60 個”的性質。（12 分）
相關申論題
⑵試求一最小正整數 n ，使其除以 9 餘 8、除以 17 餘 14、除以 25 餘 20、除以 33 餘 26。（12 分） 2n
#144035
⑴欲分別將 998 及 999 表成兩正整數的立方差（即呈 a 3 − b3 的形式）。若可以，請 找出所有表法。若不可以，請說明理由。（15 分）
#144038
⑵找出一數 n ，n 不等於 998，999，使其表成正整數立方差的方法不只一種。（可 利用⑴的結果。）（5 分）
#144039
五、令 p 為形如 2 4 n + 1的質數（n 為正整數）。試證 7 必為 Fp* 的原根（primitive root）， 即 7 在 mod p 之下的階數（order）為 p − 1 。（20 分）
#144040
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
#544011
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
#544010
(二)利用以下對應指數表求解：其中 ind a ( k ) 為使 a n≡k (mod 13) 的最小正整數 n 。以模 13 的原根 2 求解 5 x10 ≡ 2(mod 13) 。（15 分）
#544009
(一)求模 13 的所有原根。（10 分）
#544008
三、解線性同餘系統：（15 分）x ≡3(mod 4)x≡ 2(mod 5)3 x≡1(mod 7)
#544007
(二)某果農以單價 8.90 購買蘋果，3.40 購買梨子，總價為 58.1，其中蘋果數量多於梨子。求蘋果與梨子的數量。（15 分）註：581/34 ≈ 17.08823，581/89 ≈ 6.52809，581/102 ≈ 5.69608，581 × 13 = 7553，581 × 34 = 17954。
#544006
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