113年 - 113 身心障礙學生升學大專校院甄試試題_大學組：數學 A#125693

1. 坐標平面上,設 a,b為實數,已知函數 y = x² + ax + b圖形的頂點坐標為(3,2),試求a+b的值為何? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

2. 某老師在統計全班20人的小考成績後,發現有10人的分數範圍在50分至59 分之間；其餘10人的分數則介於80分至90分。老師想要調整分數,讓標準差變小。下列選項中,試問哪一個選項的調整方式所得到成績的標準差最小? (A)全班分數都加10分 (B)低於60分的分數都加10分,其餘分數不變 (C)高於60分的分數都加10分,其餘分數不變 (D)低於60分的分數都加10分,高於60分的分數都加5分

3. 某食品的配方使用 100克的A原料與 600克的B原料兩種。但生產過程中,此食品的這兩種原料的重量各自最多有±20%的誤差。令x是A原料重量占此食品重量的比例,試求x的最大可能範圍。 (A) 10%≤ x ≤ 20% (B) 11%≤x≤17% (C) 12%≤x≤16% (D) 5%≤x≤ 25%

4. 設 a,b為相異正實數且都不等於1。已知, , c為等比數列,試選出C的選項。 (A) (B) (C)(D)

5. 某一抽獎遊戲規則如下:箱中有2個紅球與1個白球。每次隨機抽取一球,記錄球的顏色並放回。連續抽取四次,若前兩次球的顏色相同或後兩次球的顏色相異,就可得獎。若每個球被抽到的機率均相同,試選出得獎的機率為何? (A)(B)(C)(D) 1

6. 已知實數數列為100項的等差數列,且。下列選項所形成的數列中,試問哪一個是等差數列且滿足? (A) (B) (C) (D)(E)無標準答案。

7. 餐廳提供三種套餐。某甲到此餐廳用餐兩天,每天的早、晚餐都從這三種套餐中擇一用餐,但當天早、晚的套餐必須不同,而且兩天內三種套餐都有選擇到。試問某甲這兩天的早、晚共4餐總共有多少種選擇方式? (A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 36

8. 已知鈍角三角形ABC中,∠A為鈍角、=5、=10,且三角形面積為20。試問向量內積 的值為何? (A) -40 (B) -30 (C) 30 (D) 40

9. 考慮4個元為-1、2、3、4的所有二階方陣A中,方陣2A的行列式值最小為哪個選項? (A) -28 (B) -40 (C) -56 (D) -224

10. 坐標平面上有三角形ABC,其頂點分別為A(0,0),B(5,0),且C點在x² + y² = 64的圖形上。已知 cos∠BAC = ,試求cos∠ABC的值為何? (A) 1/7 (B) 1/2 (C) 3/5 (D)

11. 已知為逆時針旋轉θ的矩陣,試問逆時針旋轉-2θ的矩陣為何? (A)(B)(C)(D)

12. 考慮等腰三角形ABC,其中且∠B= 。令D為直線AB上一點使得直線 CD與直線 AB垂直。試問三角形 ADC 面積除以三角形ABC面積的值等於下列哪一個選項? (A)(B)(C) (D)

13. 坐標空間中,有一直線L通過點(1,1,1)且與平面 x+y=1與 x+z=3 均不相交。設t為實數,試問哪一個選項可表示直線L上每一個點的坐標? (A) (t-1,-1, t − 1) (B) (-t+1,-t + 1, − t + 1) (C) (t-1, -t-1, - t − 1) (D) (-t+1,t+1, t+1)

14. 坐標平面上有一圓C,其圓心在直線y=ax上,其中 a＞0。已知C與x軸相切,也與直線y=-ax相切。試求a值為何? (A) 1 (B) √2 (C) √3 (D) 2

15. 坐標空間中有三點 A,B,C。已知向量內積 = −5 且 外積 = (-2,4,2)。試求線段長與線段長之積。 (A) 2√6 (B) 5 (C) √35 (D) 7

16. 已知 (x,y,z) = (0,2,3) 以及 (x,y,z) = (-1,-2,3) 皆為實係數三元一次聯立方程式的解。試問a₁、a₂、a₃、a₄這四個數中,哪一個的值一定是0? (A) a₁ (B) a₂ (C) a₃ (D) a₄

17. 已知實係數三次多項式f(x)除以x²-3x+2的餘式和f(x)除以x-3的餘式相同。試選出坐標平面上函數圖形y=f(x)對稱中心的x坐標。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

18. 某商店舉辦集獎活動,每次購物都會送出貼紙,貼紙有三種不同樣式,這三種樣式的貼紙被送出的機率均相同。送出的貼紙會採以下方式兌換折價券:

(一)三個不同樣式的貼紙成一組,會兌換成 900元折價券一張。

(二)無法湊成一組的貼紙,每個貼紙會兌換成30元折價券一張。

例如:集滿四個貼紙且其中三個不同樣式成一組,這四個貼紙全部可兌換 900元折價券一張及30元折價券一張。 若集滿五個貼紙且全部兌換折價券,試求折價券總金額的期望值為多少元? (A) 500 (B) 550 (C) 600 (D) 650

19. 若函數在x=θ有最大值,則sinθ的值為何? (A)(B) (C)(D)

20. 坐標空間中,令E為通過點 P(4,1,5)且法向量為 (2,1,-2)的平面。已知點 P與點 A(2,2,7)、B(5,−1,7)、C(5,3,7)、D(6,2,7)的距離皆相同。這四點中,哪一點在平面E的投影點距離P點最近? (A)點 A (B)點 B (C)點 C (D)點 D