108年 - 108 高等考試_三級_統計：迴歸分析#77833

科目：迴歸分析 | 年份：108年 | 選擇題數：0 | 申論題數：18

試卷資訊

所屬科目：迴歸分析

選擇題 (0)

申論題 (18)

一、⑴考慮下列涉及 3 條可能不同截距但相同斜率之直線的簡單線性迴歸模式：

其中為彼此獨立且期望值為0而變異數皆為的隨機誤差。請利用上述所有資料求出的最小平方估計量（ least squares estimator ）及的變異數。（10 分）

⑵某國政府統計分析師利用迴歸方法分析該國經濟狀況的評估分數以及影響該國經濟狀況之重要指數 X，其所用之模式為

其中隨機誤差有下列之機率密度函數表達：

當Y值大於0時，則該國的經濟評估為正向發展；反之即為負向發展。考慮另一變數 Q，當Y > 0，則 Q=1，反之當Y≤ 0，則 Q = 0，即 Q 為該國經濟是否為正向發展的指標。試求出一函數 h 使得 h(μ) = β₀ +β₁ X，其中 = E(Q)為 Q 的期望值。（10 分）

⑴下表為給定 4 種不同迴歸模式來配適 13 組資料 ( y_i , x_i1 , x_{i 2} , x_{i 3} ) ， i=1,⋯,13，所得的 AIC（Akaike’s information criterion，赤池訊息標準）值。

其中X_ij為解釋變數X_j的資料值， j= 1,2,3，隨機誤差 ,

, 為彼此獨立，期望值為0，變異數皆為的常態分配。請完成此表並利用 AIC 及 BIC（Bayesian information criterion，貝氏訊息標準）來選取最適合的模式。（log(a)為數字 a 的自然對數值，log(2)=0.69， log(3)=1.1，log(4)=1.39，log(9)=2.2，log(10)=2.3，log(13)=2.56）。（10 分）

⑵考慮下列複迴歸模式

其中隨機誤差 ,

, 為彼此獨立，期望值為0，而變異數皆為σ² 的常態分配。下列的殘差圖（residual plot），請選出那些（個）不適當並請解釋為何不適當:

是代表第 ݅ 天收集的資料，

為第 i 個資料之配適值（fitted value），而e_i為第݅個資料之殘差（residual）值。(5 分)

【已刪除】 ⑵ (y 軸)對 (x 軸)的圖，即 , ， = 1, ⋯ ,100;

【已刪除】 ⑶ (y 軸)對 (x 軸)的圖，即 , ， = 1, ⋯ ,100;

【已刪除】 ⑷ (y 軸)對 (x 軸)的圖，即 , ， = 1, ⋯ ,100;

【已刪除】 ⑸ (y 軸)對 (x 軸)的圖，即 , ， = 1, ⋯ ,100; 其中資料 , , , 是代表第天收集的資料， yi 為第 i 個資料之配適值（fitted value），而ei 為第個資料之殘差（residual）值。(5 分) 代號：21650 頁次：6－3

⑴計算判定係數（coefficient of determination），其中是觀察值 y₁,y₂ , ⋯ , 與配適值（fitted values）的相關係數（coefficient of correlation）。（8 分）

⑵在顯著水準α=0.05，利用 F 檢定法檢定

且完成下列關於此檢定的變異數分析表（ANOVA table）。（11 分）

⑶在顯著水準α = 0.05，利用 F 檢定法檢定

⑷假定因中美貿易戰的影響，若兩公司同在第 11 個地區競爭且其價格各自調高 1，即x₁₁ =1及z₁₁ =1。請計算在此地區 A 公司平均銷售額變化量的預測值及其 95%預測信賴區間，即 E(y₁₁)的點估計及區間估計。（8 分）

⑴某統計學家欲調查某一地區的當年新生人口與當年經濟成長率的關係是線性或是牽涉到更高的次方關係。此統計學家蒐集了下列在不同經濟成長率 ݔ)௜單位為%）的新生人口資料 ݕ)௜單位為萬人），i=1,…,7，

並利用下列兩種迴歸模式來配適資料

為彼此獨立且期望值為0，變異數皆為σ²的隨機誤差。但是真正的迴歸模式是

為使用模式 A 所得之

的最小平方估計量（least squares estimator），而

為使用模式 B 所得之

的最小平方估計量，請得到這些估計量的期望值向量，即

⑵針對模式 A，請問是否可利用此統計學家所蒐集的資料作模式缺適檢定（lack of fit test）？如果可，請算出檢定統計量的值；如果不可，請解釋原因。（3 分）代號：21650 頁次：6－5

⑴計算調整判定係數（adjusted coefficient of determination）及 , 與的相關係數（coefficient of correlation）。（5 分）

⑵在顯著水準 = 0.05，利用 F 檢定法檢定（5 分）

⑶計算β₁ 的 95%信賴區間估計。（5 分）

⑷ 的最小平方估計量（least squares estimator），且給定的標準誤為 2.13。在顯著水準 = 0.05，利用 t 檢定法檢定

（5 分）