申論題

我們來舉例說明一個一對一且映成函數（one-to-one and onto），以及它的定義域（domain）和對應域（range）。

函數定義

考慮函數 f:R→R，定義為：

f(x)=x+1

定義域（Domain）

函數 fff 的定義域是所有實數，即：

Domain=R\text{Domain} = \mathbb{R}Domain=R

對應域（Range）

我們來證明這個函數是映成（onto）的，即對於每個 y∈R，都存在一個 x∈R，使得 f(x)=y

假設 y 是一個任意的實數，我們需要找到一個 xxx 使得：

f(x)=y

 x+1=y

x = y - 1

因為 y 可以是任意的實數，所以 x=y−1 也是任意的實數。因此，函數 f 的對應域也是所有實數，即：

Range=R

一對一（One-to-One）

我們來證明這個函數是單射（one-to-one）的，即如果 f(a)=f(b)，則 a=b

假設 f(a)=f(b)則：

a+1=b+1

減去 1：

a=b

因此，這個函數是單射的。

映成（Onto）

前面已經證明，每個 y∈R 都有一個對應的 x∈R，使得 f(x)=y，所以這個函數也是滿射（onto）的。

總結

函數 f(x)=x+1是一個從實數到實數的函數，其定義域和對應域都是所有實數。這個函數既是一對一（one-to-one），又是映成（onto）的，因此它是一個雙射（bijection）。

• 定義域：R
• 對應域：R
• 函數：f(x)=x+1