四、設 p 為ㄧ滿足 p ≡ 1 (mod 4)之質數。若 q = 2p + 1 亦為一個質數，試證明 2 必為 mod q 的原根（primitive root）。（20 分）

五、⑴在方程式 x 2 − 2y 2 = 1 所有的正整數解(x, y)中，使得 x + y √2 最小的解稱為此方程式的基本解。已知方程式 x 2 − 2y 2 = 1 的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正整數解為( x k , y k )，其中 x k + y k √2 = (3 + 2 √2 ) k ， k = 1, 2, 3, ...... 。（10 分）