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104年 - 104 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#42733
> 申論題
題組內容
三、設 f 為一個算術函數且令 F(n) = ∑
d | n
f(d) 。（每小題 10 分，共 20 分）
⑴試證明若 f 是可乘函數，則 F 亦為可乘函數。
相關申論題
一、⑴設 F3 為一個 3 個元素的有限體。若 α 為佈於 F3 的多項式1 + 2x + x 3 的一個根，試證 明 α 為有限體 F3[ α ] 的一個原元素（primitive element）。（10 分）
#135448
⑵求下列同餘聯立方程式的解：（10 分） 2x ≡ 1(mod 3) 3x ≡ 2 (mod 5) 5x ≡ 4 (mod 7)
#135449
⑴試證明 561 是一個卡邁克爾數。
#135450
⑵設 n 為一個卡邁克爾數，試證明每一個 n 的質因數 p 都滿足 p − 1整除 n − 1 。
#135451
⑵反之，試證明上面敘述⑴的逆敘述亦成立。
#135453
四、設 p 為ㄧ滿足 p ≡ 1 (mod 4)之質數。若 q = 2p + 1 亦為一個質數，試證明 2 必為 mod q 的原根（primitive root）。（20 分）
#135454
五、⑴在方程式 x 2 − 2y 2 = 1 所有的正整數解(x, y)中，使得 x + y √2 最小的解稱為此方程 式的基本解。已知方程式 x 2 − 2y 2 = 1 的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正 整數解為( x k , y k )，其中 x k + y k √2 = (3 + 2 √2 ) k ， k = 1, 2, 3, ...... 。（10 分）
#135455
⑵試證明每一個整數都可以表示成五個整數的立方和。（10 分）
#135456
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
#544011
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
#544010
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