一、⑴設 F3 為一個 3 個元素的有限體。若 α 為佈於 F3 的多項式1 + 2x + x 3 的一個根，試證明 α 為有限體 F3[ α ] 的一個原元素（primitive element）。（10 分）

五、⑴在方程式 x 2 − 2y 2 = 1 所有的正整數解(x, y)中，使得 x + y √2 最小的解稱為此方程式的基本解。已知方程式 x 2 − 2y 2 = 1 的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正整數解為( x k , y k )，其中 x k + y k √2 = (3 + 2 √2 ) k ， k = 1, 2, 3, ...... 。（10 分）