題組內容

4.所有正整數均可以用 6n、6n + 1、6n + 2、6n + 3、6n + 4、6n + 5 中的一種來 表示，其中 n 是非負整數，試回答下列問題：

(2)試證所有大於 5 的質數，平方後再除以 6，餘數必為 1。【3 分】

詳解 (共 10 筆)

詳解 提供者：Chen Chen

假設K=6n+5為質數

k2=(6n+5)2

=36n2+60n+25

=36n2+60n+24+1

=6(6n2+10n+4)+1

=6的倍數+1

因此平方後再除以 6，餘數必為 1


詳解 提供者：嘎文

5cf5ebe2cc7e9.jpg#s-1024,558

詳解 提供者：阿貴

當n≧1時，6n、6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5，能表示所有五以上的數，且只6n、6n+2、6n+3、6n+4皆必不為質數

因此6n+1、6n+5則包含所有大於五以上的質數

又5cc4ff1e6772d.jpg/6=(365cc4ff84c67fb.jpg+6n+1)/6=65cc4ffa36f13b.jpg+n......1

5cc4ff587208e.jpg/6=(365cc4ff84c67fb.jpg+60n+25)/6=65cc4ffa36f13b.jpg+10n+4......1

因此可知所有大於五的質數，平方後除以六，於數必為1

詳解 提供者：fen

所有正整數均可以用 6n + 1、6n + 2、6n + 3、6n + 4、6n + 5 、6n + 6 中的一種來表示

其中 n ≧ 0 可能是質數的為6n + 1、6n + 5

(6n + 1) x (6n + 1)=36n2+12n+1

(36n2+12n+1)÷6=6n2+2n……1

(6n + 5) x (6n + 5)=36n2+60n+25

(36n2+60n+25)÷6=6n2+10n+4……1

故所有大於 5 的質數，平方後再除以 6，餘數必為 1。

詳解 提供者：Yeeeee
大於5的質數有6n+1、6n+5。(7.11等) 6n+1平方後再除以6→(6n+1)^2/6=(36n^2+12n+1)/6=6n^2+2n......1 6n+5平方後再除以6→(6n+5)^2/6=(36n^2+60n+25)/6=6n^2+10n+4......1 所以 所有大於5的質數6n+1、6n+5，平方後再除以6，餘數必為1得證。
詳解 提供者：NyxWu（111年上岸
6n + 1平方=36n^2+12n+1 和6同餘1 6n + 5平方=36n^2+60n+25 和6同餘1
詳解 提供者：109新北上榜～謝謝阿摩！

試列出大於5的質數為:7.11.13.17.19..... 將這些數值平方後分別為:49.121.169.289.361... 再將這些數字分別除以六，得到的答案分別為 49/6=8...1 121/6=20...1 169/6=28...1 289/6=48...1 361/6=60...1 由此可以推論，質數大於5的質數，平方後再除以6，餘數必為1。

詳解 提供者：Chun-Cheng Lai
7^2=49 ->49/6=8...1 11^2=121->121/6=20...1
詳解 提供者：YAMI
令所有大於5的數=6n+k ; n屬於自然數,k=0,1,2,3,4,5 由(1)知,形如(6n+k)的自然數,僅(6n+1)與(6n+5)可能為質數 1.設該質數為(6n+1) (6n+1)^2=36n^2+12n+1=6*(6n^2+2n)+1 ,代表(6n+1^2) / 6 = (6n^2+2n) ... 1 2.設該質數為(6n+5) (6n+5)^2=36n^2+60n+25=6*(6n^2+10n+4)+1 ,代表(6n+5)^2 / 6 = (6n^2+10n+4) ... 1 由1,2知,所有大於5的質數,平方後再除以6,餘數必為1
詳解 提供者：yjtts09
7^2=49，49/6=8...1 11^2=121，121/6=20...1